forklar beviset...

Hmm... Ved ikke om jeg kan forklare det bedre end det der står, men jeg vil da gerne prøve...

Beviset går ud på at finde løsningen til: dy/dx + f(x)*y = g(x)

Ud fra teksten referer den til en mulig "løsningsmodel", som stammer fra C.2.1 i håb om at der kan bruges noget lignende af en løsning til at  løse denne. Uden at kunne se hvad C.2.1 er, lyder det som et "kvalificeret" gæt, som der eksisterer mange af på dette mat-niveau.

Såfremt at den fundne løsning viser sig at fungere, vil den også være korrekt (der findes et navn for denne påstand, samt et bevis, som jeg dog ikke kan huske)

Ved at betragte ligningen (det "kvalificerede gæt"): y(x) = u(x) *e^-F(x),  og ligningen ovenfor ses at ud over funktionen y(x) skal også findes dy/dx. Derfor begynder de at differentiere ligningen på linje 10.

Dette bliver gjort ved brug af reglen:  d (h(x) * j(x) ) / dx = d(h(x))/dx * j(x) + h(x)*d(j(x))/dx. Her er h(x) så lig med: u(x) , og      j(x) = e^-F(x).

Derved fås:

dy/dx = du/dx*e^-F(x)-u(x) + u(x)*e^-F(x)*(-dF(x)/dx) = du/dx*e^-F(x) - u(x)*e^-F(x)*f(x)  ,  (da d(F(x))/dx = f(x))

I linje 13 indsætter han så de fundne værdier for dy/dx og y(x) (det kvalificerede gæt) ind i ligningen på linje 1.

dy/dx + f(x)*y = g(x) →du/dx*e^-F(x) - u(x)*e^-F(x)*f(x)   +   f(x) *u(x) *e^-F(x) = g(x) ,   Du kan så se at de to sidste led på venstre side af ligningen er ens, dog med modsatte fortegn. De "spiser" så hinanden. Derved bliver resultatet:

du/dx*e^-F(x) = g(x)   ,  han ganger så exponenten "over" på den anden side: du/dx = g(x)*e^F(x)     , og integrere så på begge sider:

u(x) = ∫ ( g(x)*e^F(x)  ) dx

Her til sidst benytter han så ligningen på linje 5, og erstatter det u(x) dér, med det det lige er blevet fundet. Derved:

y(x) = u(x) *e^-F(x)  →  y(x) =  ∫ ( g(x)*e^F(x) ) dx *e^-F(x)

Herved kan man så finde y(x) fra differentielligningen fra linje1. Dog kræver det selvfølgelig at man kender g(x), f(x), kan finde F(x) og i det hele taget kan integrere ligningen som den står.

Håber det hjalp og ikke gjorde det mere besværligt. Jeg er fys-stud og ikke mat-stud, så har ikke kigget på beviser i lang tid. Ellers skal du bare sige til, hvis der er noget uforståeligt (eller noget du er uenig med), med det jeg skrev.

se evt.

Hej Yow!
Det var dog et kluntet bevis.
Se professor Mattuck løse ligningen på:

www.youtube.com/watch

Jeg har lavet et notat bygget på denne forelæsning.