√x + √y = √x+y bevis det ikke passer

 Du kan overveje om det her kan bruges:

Vi undersøger nedenstående påstand

√x + √y = √(x+y)

(√x + √y)² = (√(x+y))²

√x·√x + √y·√y +2·√x·√y = x + y

x + y +2√(xy) ≠ x + y

I forbindelse med #1 må der dog tages det forbehold (evt. andre beviser har samme forbehold), at x og y ikke er lig 0 (da der så står 0 på begge sider og udtrykket er sandt). Om der er andre tal, hvor udsagnet er sandt, tvivler jeg på.

#0

Husk lige på, at du skal være forberedt på, at din lærer kan spørger dig hvorfor :D også skal du helst kunne forklare det med en sikker tone altså hjælpen i #1 hvis det self er korrekt

 Ja men min lære vil godt have en formel man ikke behøves undersøge jeg kan sagtens selv finde frem til det i svar nr 1 men jeg har brug for noget bevis med bogstaver så man kan se det gælder alle tal fx herons formel som kan bevises fx sådan:

Betragt en vilkårlig trekant med vinkler A, B, C og tilsvarende sider a,b,c

En trekant har tre højder. Mindst een af dem har fodpunkt indenfor trekanten. Lad h betegne længden af denne højde. Vi navngiver nu den side, på hvilken højden h har fodpunkt H, med c. Dette er blot en konvention; det er aldeles ligegyldigt om man kalder denne side for a,b eller c.

Treakantens areal, A, er nu

A = ½ch

Det ses at vi må have udtrykt h ved a,b og c, thi h er ukendt.

Som nævnt har højden h fodpunkt H på siden c. Det betyder, at den deler siden c i to stykker. Disse stykker er AH og HB. Lad os kalde sidelængderne |AH|=q og |BH| = p. Altså gælder

c = p+q

fordi c = |AB| = |AH|+|HB| = p + q.

der vil der fremkommer retvinklede trekanter BHC og AHC. Pythagoras anvendt på disse giver

h^2 + p^2 = a^2 (1)

og

h^2 + q^2 = b^2 (2)

Vi har endvidere

c = p+q <=>

q = c-p =>

q^2 = (c-p)^2 = c^2-2cp+p^2 (3)

Addition af h^2 på begge sider af giver

h^2 + q^2 = h^2+c^2-2cp+p^2 (4)

Vi bemærker nu at venstresiden af (4) ifølge (2) er lig b^2. Ligeledes bemærker vi at leddene h^2+p^2, der indgår på højresiden af (4), ifølge (1) er lig a^2. Ergo er (4) ensbetydende med

b^2 = a^2-2cp+c^2 <=>

p = (a^2+c^2-b^2)/(2c) (5)

Ifølge (1) er

h^2 = a^2-p^2

Indsættes (5) heri fås

h^2 = a^2-p^2 =

(a+p)(a-p) =
[a+(a^2+c^2-b^2)/(2c)][a-(a^2+c^2-b^2)/(2c)] =
(2ac+a^2+c^2-b^2)(2ac-a^2-c^2+b^2)/(4c^2) =
((a+c)^2-b^2)(b^2-(a-c)^2)/(4c^2) =
(a+c+b)(a+c-b)(b+a-c)(b-a+c)/(4c^2) (6)

Vi indfører nu størrelsen s defineret som trekantens halve omkreds

s = ½(a+b+c)

Heraf følger specielt

2s = a+b+c (7)
2(s-a) = b+c-a (8)
2(s-b) = a-b+c (9)
2(s-c) = a+b-c (10)

Dernæst indsættes (7)-(10) i (6) hvilket giver

h^2 = 2s*2(s-a)*2(2-b)*2(s-c)/(4c^2) <=>
h^2 = 4s(s-a)(s-b)(s-c)/c^2 =>
h = 2sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))/c

Da nu A=½ch fås slutteligt

A = ½ch <=>
A = ½c[2sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))/c] <=>
A = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))

#4 - #1 gælder generelt. x og y er præcis lige så relle tilfældige tal som dine a'er, b'er og c'er. Sidste linje i #1 siger jo netop, at

 x + y + 2√(x+y) ≠ x + y

Hvis du vil gøre det unødigt besværligt kan du lade x være lig n² og y lig m². Så kan du vha. Pythagoras i trekanter forklare det geometrisk. Men #1 er et FULDT ud gyldigt svar.

Den såkaldte "undersøgelse" består ganske enkelt i omskrivninger - noget alle matematiske beviser bygger på.

ok så du siger til mig at jeg ikke behøves en eller anden mega lang forvirrende forklaring til?
jeg tror ikke på gud men hvis jeg gjorde ville morsby og pvm være det!!!!

#6 Det må ganske enkelt være tilstrækkeligt; ellers vil din matematiklærer ganske enkelt suge livet ud af jer.

Idet #1's udregninger er korrekte får du jo (i sidste linje) som nævnt før:

x + y + 2√(x+y) ≠ x + y

Skulle de to sider faktisk være lig hinanden, skulle 2√(x+y) være lig 0. Hvilket kun forekommer, når en af dem (eller begge) er lig 0 (da du går i 9. klasse og der til start tages kvadratroden af begge tal, må det endvidere antages, at x og y er større end eller lig med 0, da I næppe arbejder med imaginære tal).

Beviset er altså som i #1 med de forbehold, at hverken x eller y er iig 0, og at x og y begge er større end 0 (da de ikke må være negative pga. kvadratroden og det at sætte en af dem lig 0 ville gøre udtrykket sandt).

min lære er lidt en ile men nu må vi jo se i morgen ellers mange tak for hjælpen :)

her er opgaven:

√x + √y = √(x+y)  (*)
jeg skal bevise at det ikke passer.

Antag at reglen (*) gælder. For x=y=0 gælder det.

At vise at reglen ikke gælder, kommer bare ud på at finde to tal, der gør at reglen ikke er opfyldt.

Det kan gøre ved at sætte x=y=1 (eksempelvis) 

√1 + √1 = √(1+1)  <=>  2 = √2 ,

hvilket er usandt. Dermed er det ønskede vist.