Tangentligningen

der er vist et grafisk bevis, men det er af gode grunde lidt for besværligt at tegne her på studieportalen. Men du kan gøre det sådan her istedet for :)

en tangent er en retlinje:  y = ax + b   og tangerer i et tilfældigt punkt. Vi kalder koordinaterne:  (x₀,f(x₀))

1. hældningen "a" til tangenten kan skrives som f'(x₀) , sig til hvis du ikke er med på den del.

2. b er skæringen med 2.aksen, den finder du ved  b = y - ax  = y - f'(x₀)*x

3. Hvis du indsætter det "kendte punkt" (x₀,f(x₀))  i  b = y - f'(x₀)*x   får du  b = f(x₀) - f'(x₀)*x₀

4. Hvis du substituerer b tilbage i ligningen får du : y = f'(x₀)*x + f(x₀) - f'(x₀)*x₀

5. Ved faktorisering af f'(x₀)  får du  y = f'(x₀)(x-x₀) + f(x₀)

Håber det var til at forstå, spørg endelig.

...eller

           ligningen for en ret linje er defineret
           som
                                                             Δy/Δx = (y₂-y₁)/(x₂-x₁) = a       hvor a er konstant
specifikt for tangenten
som er grænselinje
for sekanten gælder
                                                             limes (y-y_o)/(x-x_o) = f '(x_o)
                                                              ^x→x_o

hvoraf
                                                             (y-y_o) = f '(x_o)·(x-x_o)
eller
                                                             y = f '(x_o)·(x-x_o) + f(x_o)                       da y_o = f(x_o)





 

Det ser godt nok indviklet ud. Jeg har prøvet at skrive noget, så jeg håber at en kan fortælle mig om det er nogenlunde rigtigt.

Hvis f er differentiabel i punktet x₀, har tangenten til grafen i punktet (x₀,f(x₀)) ligningen:
y = f(x₀) + f ’(x₀)(x-x₀).

Tangenthældningen = f ’(x₀)

Hældningen for en ret linje kan også beregnes ud fra to punkter ved:
a=(y₂ - y₁)/(x₂ - x₁ )

Tangenthældningen er derfor = (y-y₀)/(x-x₀ )

De to udtryk for tangentligningen sættes lig med hinanden:
(y-y₀)/(x-x₀ ) = f ’(x₀)

Y isoleres:
y-y₀ = f ’(x₀) (x-x₀)

y = y₀ + f ’(x₀) (x-x₀)

Da y₀ = f(x₀) bliver ligningen:
y = f(x₀) + f ’(x₀) (x-x₀)