Når logikken driller...

Cykloiden har parameterfremstillingen

(x(t) , y(t)) = ( r(t - sin(t)) , r(1 - cos(t)) ) , med

(dx/dt , dy/dt) = ( r(1 - cos(t)) , r·sin(t) )

og man finder buelængden for t ∈ [0 , 2π]

L = ₀∫^2π ((dx/dt)² + (dy/dt)²)^1/2 dt

   = ₀∫^2π (r²(1 + cos(t)² + sin(t)² -2cos(t)))^1/2 dt

   = ₀∫^2π r·(2 - 2cos(t))^1/2 dt

   = r·₀∫^2π (2 - 2cos(2t/2))^1/2 ·2d(t/2)

   = 2r ₀∫^π (2 - 2cos(2u))^1/2 du

   = 2r ₀∫^π (4·sin(u)²)^1/2 du

   = 2r ₀∫^π 2sin(u) du

   = 4r·[-cos(u)]^π₀ = 4r(1+1) = 8r

Dine resultater er ikke korrekt.

 Tak for hjælpen, Andersen

Jeg fandt fejlen... Jeg havde glemt at sætte det under et kvadratrodstegn... typisk mig.

Jeg kan vel ikke få dig til at knytte en kort kommentar til hvad det er du gør, fra linjen, hvor du sætter r udenfor integralet?

Jeg kunne nemlig rigtig godt tænke mig at kunne forstå det hele vejen

her benyttes
substitutionen  
                                t = 2u  og dermed   dt = 2du
grænser
                          øvre:      2π → π      
                          nedre      0 →  0             

hvoraf
                 (2 - 2cos(t))^1/2 = (2 - 2cos(2u))^1/2 = (2(1-cos(2u)))^1/2 = (2(2·sin²(u)))^1/2 = (2²·sin²(u))^1/2 = 2sin(u)

.....................
kendes fra fomlen

                       cos(2u) = 1 - 2sin²(u)
hvoraf
                       1 - cos(2u) = 2sin²(u)