1 + 3 + 5 + 7 + …. + (2n + 1) = (n + 1)^2

Hej p e,

er du sikker på du har skrivet formlen helt korret?

Yep, i opgaven står der; vis at : 1 + 3 + 5 + 7 + …. + (2n + 1) = (n + 1)^2

Jeg kan bare ikke rigtig se, hvordan det kan passe.

 Det skal jo ses som summen af de ulige naturlige tal op til og med det tal, der fremkommer, når du tager et tilfældigt valgt tal n∈N og indsætter i (2n+1)

fx: n = 3

derved bliver 2n+1 = 2·3+1 = 7  du skal så finde summen af de ulige naturlige tal op til og med 7, altså talfølgen:

1+3+5+7 = 16

(n+1)² = (3+1)² = 4² = 16

Du skal bevise sætningen vha. et induktionsbevis :-)

der har for ikke så længe siden været et indlæg herom, - prøv at søge på det

Okay, men for at vise det at formlen er sandt (hvilket jeg ikke tror den er) for et vilkårligt tal n (du har ikke sagt hvad n er), må du bruge bevismetoden simple induktion.

Tak for svaret pvm. Ja, jeg ved godt, at jeg skal bruge induktionsbeviset jeg har bare ikke set sådan en formel før. Jeg har arbejdet med 1+2+···+n = n(n+1)/2 hvilket jeg synes er en del nemmere.
 

Men jeg vil se på det. og til Anders; Jo, den burde altså være sand =), hvorfor skulle den ikke være det?

Du regner forkert i dit eksempel #0, summen på venstre side skal gå helt op til (2n+1) ikke bare til n

hvis du vil undersøge det for n=9 skal der stå

1+3+5+7+9+11+13+15+17+(2·9+1) = (9+1)²

hvilket giver 100 på begge sider

Hej, tak svarene!

Hej har prøvet at bevise det:

P(1) = 1+(2*1+1)=(1+1)^2 hvilket er sandt.
Så antager vi, at P(n) er sandt. Dvs. 1+3+5+7...+(2n+1)=(n+1)^2

Vi viser så, at
P(n+1) er sand. Dvs:

P(n+1): 1+3+5+7....+(2n+1)+(2n+1+2)=(n+1+1)^2
<=>
((n+1)^2) + (2n+1+2) = (n+1+1)^2

<=> n^2+4n+4 = n^2+4n+4


q.e.d
 

Jeg er bare lidt i tvivl om, om det er rigtigt! Fordi jeg lægger 2 til på venstre side og kun 1 på højre side! Grunden til, at jeg gør det, er fordi, at hvis jeg lægger 1 til på venstre side, giver det er lige tal og det må det ikke. Det må kun give ulige, men det mærkelige er, at jeg får det til at være rigtig i slutningen.

#7

Du skal lægge 1 til n på hver side, og vise at P(n+1) er sand.

1 + 3 + 5 + ... + (2n+1) + (2(n+1)+1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2n+1) + 2n+3

     = (n+1)² + 2n+3 = n² + 2n + 1 + 2n + 3

    = n² + 4n + 4

    = (n+2)²

Du når jo frem til præcist det samme som jeg? Jeg kan godt se, at det du gør er rigtigt :). Jeg har bare sprunget det led over og har sagt 2n+3. Mangler mellemleddet.

Tak for hjælpen du.