Matematik
matrix
Hej
Har brug for lidt hjælp til en opgave i lineær algebra..
Nogen der kan komme med nogle ideer til, hvad jeg kan gøre?
En blind mus befinder sig i rum 2 på og der er i alt 5 rum.
Den går hvert minut til det næste rum i et tilfældigt mønster. F.eks. er sandsynligheden for at musen går fra rum 2 til 1 og fra rum 2 til 3, begge lig 1/2
(musen bevæger sig med sikkerhed ind i et andet lokale, så sandsynlighederne skal summere til 1). Sådan fortsætter musen med at vandre
indtil den finder osten, hvorfor den forbliver i rum 5 og tilbringe resten af sine dage med at spise den store ost. Til at beskrive musens
bevægelse kan vi opskrive en overgangsmatrix P, hvis elementer Pij er sandsynlighederne for at musen går til rum i fra rum j.
a) Opskriv matricen P ved at se på musens mulige bevægelser.
Denne har jeg lavet og er kommet frem til denne matrix:
0 1/2 0 1/2 0
1/2 0 1/2 0 0
0 1/3 0 1/3 1/3
1/2 0 1/2 0 0
0 0 0 0 0
B)
Vi kan repræsentere startrummet for musen ved en standard enhedsvektor ei, i = 1… 5, da musen starter i netop _et af rummene 1-5. I næste trin vil musen så kunne bevæge sig til forskellige rum, så der vil være en sandsynlighed mindre end _en, for at træffe musen i forskellige naborum. Mere præcist vil sandsynligheden for at træffe musen i næste minut i de forskellige rum være givet ved vektoren P ei. Her er den l'te indgang i vektoren P ei lig med sandsynligheden for at musen er i det l'te rum. Tilsvarende vil
sandsynligheden for at træffe musen i de forskellige rum efter k minutter være givet ved vektoren Pkei. Bestem (gerne ved brug af Maple) sandsynligheden for at musen finder osten på højst 4 minutter, givet af musen starter i rum 2.
C)
Efter at have vandret i noget tid og stadig ikke fundet osten, kommer musen til at tænke at den måske aldrig vil finde osten, fordi den startede i det forkerte rum. Hvad kan den Lineær Algebra studerende trøste musen med. (Se på hvad der sker med
sandsynlighedsfordelingen for at musen er i rum 5 når antallet af skridt går
mod uendeligt) Hint: Diagonalisering. (Til denne del af opgaven
må der gerne bruges Maple til at finde egenværdier og egenvektorer.)
Svar #1
06. januar 2011 af Andersen11 (Slettet)
Det er ikke klart, hvorledes rummene er fordelt. Fra et rum i , kan musen kun gå til enten (i+1) eller (i-1)? Eller er der flere muligheder for nogle af rummene? Det må der næsten være, eftersom nogle af elementerne har sandsynligheden 1/3 i matricen P.
Svar #3
06. januar 2011 af Andersen11 (Slettet)
#2
Matricen P skal have værdien 1 i elementet (5,5), og så skal din matrix P i øvrigt transponeres. Dernæst kan opgaven løses efter den angivne vejledning.
Svar #5
06. januar 2011 af Andersen11 (Slettet)
#4
Den matrix P, du skal gange fra venstre på ei for at få sandsynlighedsfordelingen efter start i rum i , er den transponerede af den matrix, du har i #0 a) , og som nævnt skal matrixelementet P5,5 være 1 .
Svar #6
03. januar 2015 af jepsendu (Slettet)
Men hvorfor skal den transponeres? jeg kan godt se at det må være den transponerede der er den korrekte matrix, da alle elementerne i hver søjle skal summe til 1, men jeg forstår ikke helt hvorfor at den skal transponeres..
Svar #7
03. januar 2015 af Andersen11 (Slettet)
#6
Matricen P 's elementer Pij repræsenterer sandsynligheden for at musen går til rum i fra rum j . Pij er elementet i række nr i, søjle nr j.
Sandsynlighederne for at gå til de forskellige rum fra rum 3 er da
P13 = 0 , P23 = 1/3 , P33 = 0 , P43 = 1/3 , P53 = 1/3
Disse vil være elementerne i søjle nr 3 i matricen P. I #0 er disse elementerne i række nr 3, og derfor skal matricen vist i #0 transponeres for at angive matricen P.
Svar #8
04. januar 2015 af jepsendu (Slettet)
aaah, det gav meget god mening. Jeg havde misfortået Pij som at musen gik 'fra' rum i 'til' rum j og ikke omvendt. Tak :)
Skriv et svar til: matrix
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.