Bevis for The Mean Value Therorem

Du skriver jo selv, at du skal bevise middelværdisætningen. Så kan du jo ikke så godt gøre brug af den i beviset for den.

Ja, googlede lige ordene, sry. Men, hvordan kan jeg bevise middelværdisætningen ved at bruge samme newton-kvotient, som jeg skrev i den tråd, hvor jeg skulle bevise differentialkvotienten i x₀? Eller er det ligeså godt, hvis jeg bare bruger bogstaverne a og b i stedet for x₀ + h?

Se beviset her

http://en.wikipedia.org/wiki/Mean_value_theorem 

Du kan sikkert afpasse det ind i, hvad der er kendt i dit pensum.

Jeg ved godt hvordan jeg skal lave beviset med a og b, som punkter, jeg ved bare ikke hvordan jeg skal gøre det med newton-kvotienten, som jeg definerede i den anden tråd. Kan du hjælpe mig med at skrive den op og hvordan jeg skal formulere det med ord?

#4

Du skal jo ikke lave differenskvotient. Du skal vise middelværdisætningen.

Hmm, ok.

Spørgsmål 2 lyder:

(2) Show that the function f is increasing on the interval I if

for alle x ∈ I: (d(f)/dx)(x) > 0

Her skal jeg til gengæld differentiere, men hvordan ser f ud?

#6

f er en generel funktion, der er differentiabel.

Brug middelværdisætningen til at vise, at f er monotont voksende, hvis f'(x) > 0 for alle x i intervallet.

Skal jeg formulere det i ord? Middelværdisætningen er jo skrevet op i #0. Går spørgsmålet ud på, at jeg skal skrive middelværdisætningen op igen eller hvordan skal det forstås?

#8

Nej, du skal bruge middelværdisætningen til at vise, at hvis f'(x) > 0 for alle x i et interval I for en differentiabel funktion f(x), så er funktionen f(x) monotont voksende for alle x i intervallet I.

Jeg er helt fortabt i den her opgave :S Har du noget imod at svare på opgave/spørgsmål (2), som du har tænkt? Det ville være en stor hjælp.

Bruges middelværdisætningen ikke hovedsageligt kun til beviser/matematiske sætninger? Jeg ved bare ikke hvordan jeg skal bruge den i aktion.

#10

At funktionen er voksende i et interval I betyder, at hvis x₁, x₂ ∈ I med x₁ < x₂, er f(x₁) < f(x₂)

Lad nu x₁ , x₂ ∈ I med x₁ < x₂ . Da funktionen f antages differentiabel, findes der ifølge middelværdisætningen da et c ∈ ]x₁ , x₂[ , således at

f'(c) = (f(x₂) - f(x₁)) / (x₂ - x₁)

Da nu f'(x) > 0 for alle x ∈ I, gælder der derfor, at f'(c) > 0 og dermed at

f(x₂) - f(x₁) > 0

Hermed er beviset færdigt.

Men, er det ikke præcis det samme, som jeg skrev i starten? Her har du bare skiftet ξ ud med c. f'(c) er da (df/dx)(c), som er lig med (f(x₂)-f(x₁))/(x₂-x₁) hvor x₂ = b og x₁ = a, som i starten.

Hvordan ved du, at f(x₂) - f(x₁) > 0?

#13

Ja, jeg gør brug af middelværdisætningen til at vise, at funktionen er voksende, når f'(x) > 0. I (1) skulle du vise middelværdisætningen. I (2) gør jeg brug af middelværdisætningen til at vise monotoniegenskaben.

#14

Det er ikke noget jeg ved. Det er noget vi viser i #12.

Ja, okay, nu kan jeg godt se det, tror jeg. Hvis det havde været x₁> x₂ og f(x₁) > f(x₂) så havde f(x₂) - f(x₁) < 0 og dermed monotont faldende. Er det rigtig forstået? 

#17

Nej, det er stadig en voksende funktion.

x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂) , eller

x₁ > x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂)

er da den samme egenskab.

Hov, jeg mente, når x₁>x₂ => f(x₁) < f(x₂₎, som så må være det samme som x₁< x₂ => f(x₁) > f(x₂) ifølge #18, så er den monotont faldende?