Matematik
Differentialligninger - max
Jeg ønsker hjælp til følgende opgave:
"I et bestemt område er der en bestand af fisk. Antallet af fisk i bestanden, angivet i tusinder, beskrives i en model ved en funktion N af tiden t, angivet i år. Funktionen N er løsning til differentialligningen:
N'(t) = 0,00047 * N * (205 - N)
Det oplyses at N(0) = 30
a) Benyt modellen til at bestemme antallet af fisk til tidspunktet t = 6
Efter 6 år vil fiskebestanden være 47984
b) Hvornår består bestanden af 100000 fisk?
Efter 17 år og 9 måneder vil fiskebestanden være 100000, hvis modellen holder stik.
c) Bestem N'(t) på det tidspunkt, hvor den er størst, og giv en fortolkning af dette tal.
Jeg har forsøgt mig ud i noget optimering og fundet:
N''(t) = 0 <=> t=102,5
som er det samme som M/2=205/2=102,5
Men jeg er nu stadig ikke helt med. Der er noget om at M/2 er N'(t)'s parabels toppunkt?
Svar #1
19. januar 2011 af chr42 (Slettet)
Ja
Det er en logistisk ligning du har gang i, og du har fundet ud af at løsningskurven er stejlest, når du er nået halvvejs op til loftet.
Svar #2
19. januar 2011 af mathon
alment
N'(t) = a·N·(M-N) = -aN2 + (aM)·N som grafisk er en grennedadvendende parabel
med
N'' = -2aN + aM = -2a(N-(M/2))
N'' = 0 = -2a(N-(M/2))
N = (M/2)
Svar #3
20. januar 2011 af edn (Slettet)
Men det er jo ikke den del jeg ikke kan finde ud af. Jeg ved det giver t=102,5 - men hvordan forklares dette?
Svar #4
20. januar 2011 af chr42 (Slettet)
Jamen det har du jo fundet ud af, ved at finde ud af hvor N'' er nul. Det eneste du egentlig mangler, er at vise, at det er et maksimum. Det kan du gøre ved hjælp af en fortegnslinje, dvs undersøge fortegnet på N'' før og efter t=102,5.
Du kan også ganske rigtig finde toppunktet på den parabel N' danner som funktion af N og argumentere for, at det er en sur parabel, så der er tale om et maksimum.
God arbejdslyst.
Svar #5
20. januar 2011 af edn (Slettet)
Tak, men så langt er jeg.
Men i opgaven står der at jeg skal give en forklaring af det tal jeg får, og bag i bogen står der at svaret er "Bestanden er vokset med 4900 fisk om året på det tidspunkt, hvor væksthastigheden er størst.".
Mit problem er bare at jeg ikke kan se hvordan jeg kommer fra t = 102,5 til 4900 fisk om året på dette tidspunkt, for den tilhørende y-værdi er 52,25, hvilket vil give 52.250 fisk?!
Svar #6
20. januar 2011 af chr42 (Slettet)
Nu bliver jeg jo nødt til at løse opgaven :-)
Giv mig lige et øjeblik.
Svar #7
20. januar 2011 af chr42 (Slettet)
Det er fordi, det ikke er t, der er 102,5 hvor væksthastigheden er størst, men N.
Når N=102,5 er N'=0,00047*102,5*(205-102,5)=4.938, hvilket svarer til 4938 fisk om året eller 4900 som facitlisten skriver.
Skriv et svar til: Differentialligninger - max
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.