Tangentplan

1)
Korrekt.

2)
En ligning for en (tangent)plan kan opskrives, hvis blot man kender en normalvektor n = (a,b,c) til planen samt et punkt Po = (x0,y0,z0) i planen.

Lad P = (x,y,z) være et vilkårligt andet punkt i planen, og bemærk, at en normalvektor til planen har den egenskab, at den er vinkelret på enhver vektor i planen. Dermed haves en ligning for planen;

n*PoP =

(a,b,c)*(x-x0,y-y0,z-z0) =

a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0 (1)

I et tilfælde som det konkrete, hvor der er tale om en tangentplan til en kugle, kan radiusvektor PQ *) anvendes som normalvektor til planen. Endvidere er røringspunktet Q et punkt i planen.

*) Enhver vektor på formen

s*PQ

for s E R\\{0} er en normalvektor til planen. I praksis er der dog normalt ingen grund til at vælge en anden normalvektor end PQ (s = 1), eller QP (s = -1).

//Singularity

#1: Det kan dertil bemærkes, at (1) undertiden omtales som en ligning for planen, på 'normalform'. Det er helt analogt til en ligning for en linie i R^2, på normalform;

a(x-x0) + b(y-y0) = 0

hvor (a,b) er en normalvektor til linien og (x-x0,y-y0) en retningsvektor for linien.

//Singularity

Tak for det fine svar Singularity.

Idet

P:=;
Q:=;
PQ:=P-Q;

får jeg tangentplanens ligning til

PQ.(Q-);

-20+3*x+4*y

"." er skalarproduktet.

Kan dette passe? Jeg har plottet det i Maple og kan ikke helt afgøre om det er fint nok. Synes nu det ser sådan ud - men kan jo også være et tilfælde.

#3: Ikke helt korrekt; det skal være en ligning for tangentplanen i Q (jf. (1)). Men

" -20 + 3*x + 4*y "

er et udtryk i x og y - ikke en ligning. En ligning for tangentplanen til kuglen i punktet Q - på normalform - er

3x + 4y - 20 = 0

Naturligvis er det også tilladt at skrive

3x + 4y = 20

Uafhængigheden af z-koordinaten viser i øvrigt, at der må være tale om en lodret tangentplan (normalvektoren (3,4,0) har z-koordinat 0 og ligger derfor i en vandret plan). Det kan du formentlig genfinde i plottet fra Maple.

//Singularity

En dum fejl. Tak skal du have!

Kan godt se fra plottet i Maple at der er tale om en lodret plan :)

Tusinde tak for den fine hjælp!