komposanter

Tegn det op. Det vil give en trekant, hvor du kender en side og 2 vinkler. Brug dette til at finde de manglende sider i trekanten

hvordan vil så dan en tegning se ud er ikke helt ind i hvordan det der komposanter virker :)

Tegn den oprindelige kraftvektor. Fra begyndelsespunktet tegnes en vektor der har vinklen 60º med kraftvektoren. Fra spidsen af denne tegner du nu en vektor, der starter i spidsen af den sidste vektor og ender i spidsen af kraftvektoren. Den sidste vektor vil så være den anden komposant.

Svaret i #3 har ikke en entydig løsning, og det er ikke benyttet, at den anden komposant skal danne vinklen 45º med kraftvektoren. Den første vektor har jo arbitrær længde.

I det mere generelle problem har man en vektor a, der skal opløses i komposanter efter vektorerne b og c, hvor b og c er lineært uafhængige. Opgaven går da ud på at finde to skalarer p og q, således at

a = pb + qc

Vi finder nu

p|b|² + qb•c = a•b

pb•c + q|c|² = a•c ,

hvoraf fås

p = (|c|²(a•b) - (b•c)(a•c)) / (|b|²|c|² - (b•c)²)

q = (|b|²(a•c) - (b•c)(a•b)) / (|b|²|c|² - (b•c)²)

Hvis vektorerne b og c er enhedsvektorer, forenkles udtrykkene for p og q tilsvarende.

Hvis vi indskrænker problemet til vektorer i en plan, har vi i den konkrete opgave givet en vektor a . Vi danner en enhedsvektor b, der skal danne vinklen 60º med vektor a ,således:

b = (1/2)a/|a| + ((√3)/2)â/|a| ,

hvor â er tværvektoren til vektor a i den plan, vi betragter, idet vi benytter, at a og â har samme længde.

Tilsvarende danner vi en enhedsvektor c, der skal danne vinklen 45º med vektor a , således

c = ((√2)/2)a/|a| - ((√2)/2)â/|a| .

Vi finder nu

b•c = (√2)/4 - (√6)/4 = (√2)(1 - √3)/4

a•b = (1/2)|a| , og

a•c = ((√2)/2)|a| , hvorfor fås

p = |a|·((1/2) - (1 - √3)/4)/(1 - (1-√3)²/8) , og

q = |a|((√2)/2 -((√2)/2)(1 - √3)/4)/(1 - (1-√3)²/8)

Skalarerne p og q er længderne (med fortegn) af vektoren a 's komposanter efter enhedsvektorerne b og c . Her var b og c valgt således, at de ligger på hver sin side af vektor a.

#4 Du har misforstået hvad #3 er. Det er en metode til at lave en tegning og ikke andet. Når den skal bruges skal du også se på mit indlæg i #1. Vinklen kommer ind når du skal finde vinklen i trekanten hvor den anden vektor starter for spidsen af den andenvektor. Den skal drejes så den peger i en vinkel med 45º i forhold til den oprindelige kraftvektor altså 60º+ 45º = 105º. Vinklen i trekanten bliver så 180º - 105º  = 75º. Du har nu en trekant hvor du kender en side (30N) og to vinkler(60º og 75º). Deraf kan så findes de manglende sider d.v.s længden af komposanterne.

#5

Ja, det har du helt ret i. Jeg beklager.