Matematik

Lineær differentialligning af 2. orden

12. februar 2011 af Katrinelhf (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej

Jeg sidder og skriver opgave om lineære differentialligninger af anden orden og skal bestemme den fuldstændige løsning til

y''-7y'+10y=0

Nogen der kan hjælpe?

Kan ikke helt finde ud af hvordan jeg skal gribe det an.

Er kommet frem til

c1= (-c2(f''1(x)-7f1'(x)+10f1(x)) / (f2''(x)-7f2'(x)+10f2(x))

Har jeg overhovedet fat i noget af det rigtige? Synes nemlig ikke det virker rigtigt det jeg gør.

Brugbart svar (1)

Svar #1
12. februar 2011 af mathon

                        en løsning er
                                                  y = e^rt
den karakteristiske ligning
ligning
                                                      r² - 7r + 10 = 0
har løsningerne
                                                      r₁ = 2 r₂ = 5
hvoraf
den fuldstændige løsning
                                              er
                                                      y = Ae^2x + Be^5x

Svar #2
12. februar 2011 af Katrinelhf (Slettet)

Tak!

Har næsten forstået det. I min bog står der at man skal finde Wronskideterminanten... Hvorfor? Vi har jo løsningen inden? Fra Wronskideterminanten får man -3e^7x, som så ikke bruges til noget?

Brugbart svar (0)

Svar #3
12. februar 2011 af peter lind

I et så simpelt tilfælde er Wronski determinanten overflødig. I mere komplicerede tilfælde er den derimod et godt hjælpeværktøj.

Brugbart svar (1)

Svar #4
12. februar 2011 af Andersen11 (Slettet)

At Wronskideterminanten er 3e^7x ≠ 0 betyder, at de to partikulære løsninger e^2x og e^5x er lineært uafhængige, hvorfor løsningen i #1 er den fuldstændige løsning.

Svar #5
12. februar 2011 af Katrinelhf (Slettet)

Okay tak.

Nu har jeg så et nyt problem...

Hvordan gør man når d<0?

Brugbart svar (1)

Svar #6
12. februar 2011 af Andersen11 (Slettet)

Så har den karakteristiske ligning to komplekse rødder, og løsningerne vil da også indeholde trigonometriske funktioner. Formelt er det helt samme fremgangsmåde.

Svar #7
12. februar 2011 af Katrinelhf (Slettet)

Hvordan kan det være samme metode? Hvordan finder jeg rødderne når jeg ikke kan tage kvadratroden til et negativt tal?

Brugbart svar (1)

Svar #8
12. februar 2011 af Andersen11 (Slettet)

Det kan man, hvis man har lært om komplekse tal. Hvis du ikke har lært om komplekse tal, kan du så ikke bruge den fremgangsmåde.

Svar #9
12. februar 2011 af Katrinelhf (Slettet)

Og der er ingen andre måder at regne opgaven på?

Som lyder

Find den fuldstændige løsning til

y''+6y'+9y=0

Brugbart svar (1)

Svar #10
12. februar 2011 af Andersen11 (Slettet)

Den ligning har jo d = 0 . Så er de to partikulære løsninger e^-3x og xe^-3x .

Svar #11
12. februar 2011 af Katrinelhf (Slettet)

Hov, ja den havde jeg fundet ud af

y''+6y'+10y=0

mente jeg.. sorry

Svar #12
12. februar 2011 af Katrinelhf (Slettet)

Er den fuldstændige løsning til y''+6y'+9y=0 ikke

y=c1x+c2)*e^6x/9?

Brugbart svar (1)

Svar #13
12. februar 2011 af peter lind

Nej. Nu er determinanten jo ikke 0, men negativ. Løsningen bliver så af formen c₁*sin(k₁)e^k2x + c₂*cos(k₁x)e^k2xNB k2 er ikke k*2 men burde skrives k₂

Brugbart svar (0)

Svar #14
12. februar 2011 af mathon

y = e^-3x(A·cos(x) + B·sin(x))

Brugbart svar (0)

Svar #15
12. februar 2011 af Andersen11 (Slettet)

#12

Ligningen y'' + 6y' + 9y = 0 har den fuldstændige løsning

y = (c₁x + c₂)·e^-3x

Skriv et svar til: Lineær differentialligning af 2. orden

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.