Minimering af materialeforbrug? Jeg er blank!

Betragt en cylinder med et fast volumen V. Cylinderen er beskrevet ved dens radius r og højde h. Benyt formlen for cylinderens volumen til at eliminere højden h. Indsæt det i udtrykket for cylinderens overfladeareal og find minimum for overfladearealet som funktion af r. Meningen er så, at man skal udføre disse beregninger for dimensioner for øl- og sodavandsdåser fundet i handelen.

Det forstår jeg ikke, kan du forklare det på en anden måde?? :- )

#2

For en cylinder med radius r og højde h er dens volumen

V = πr²h .

Dens overfladeareal er

A = 2·πr² + 2πr·h .

Ser vi på en cylinder med et givet volumen V, har vi

h = V/(πr²) ,

som vi indsætter i udtrykket for overfladearealet

A = 2πr² + 2πr·V/(πr²) = 2πr² + 2V/r .

Vi har nu, at A er en funktion af r. Vi finder nu

A'(r) = 4πr -2V/r² ,

og vi finder

A'(r) = 0 ⇒ r³ = V/(2π) ⇒ r = [ V/(2π) ]^1/3

Man viser let, at A(r) har minimum for dette r. For dette r har vi så

h = V/(πr²) = V·(2π)^2/3 /V^2/3 /π = V^1/3·2^2/3/π^1/3 = (4/π)^1/3·V^1/3

For en cylinder med et givet volumen V og med mindst mulig overfladeareal skal der derfor gælde

V/r³ = 2π og V/h³ = π/4

For en given øl- eller sodavandsdåse kan man derfor undersøge forholdene V/r³ og V/h³ og sammenligne med værdierne for minimalt overfladeareal.

Hvis du fortsætter med at udvikle den sidste formellinie fås:

V/r^3 = 2π og V/h^3 = π/4...........isolér V fra begge ligninger

V = 2π*r^3 = π/4*h^3

2r^3 = (h^3)/4............gang med 4 og byt side

h^3 = 8r^3

h = (8r^3)^(1/3)

h = 2r eller

h = d
 

Altså er en "optimeret" dåse lige så høj, som den er bred - og så er det jo nemt at se, at alm. øl- og sodavandsdåser ikke er optimerede ;-)

#4

Godt set, Stoney.

Dåsen skal være 0,33 liter - sidder selv med opgaven - nogle der kan hjælpe??