Matematik
Produktreglen
Hej alle matematikgenier,
Inden jeg går i gang må I endelig ikke lade jeg narre af nedenstående tal-orgie. Jeg kunne desværre ikke få det til at se mere overskueligt ud :-(
Men mit problem er, at jeg skal forklare, hvorledes g(x) · f(x0) pludselig kan blive et led - og dette kan jeg simpelthen ikke forklare? Hvorfor kommer de til at optræde som ét led?
Bevis for produktreglen
Hvis f og g er differentiable i x0 gælder for funktionen y = f(x) · g(x):
delta(y)/delta(x)=(f(x)·g(x)- f(x0 )·g(x0 ))/(x - x0 )
=(f(x)·g(x)-f(x0 )·g(x)+f(x0 )·g(x)-f(x0)·g(x) )/(x - x0 ) Leddet f(x0) · g(x) trækkes fra og lægges til
=((f(x)-f(x0 ) ) · g(x)+ f(x0 ) ·(g(x)- g(x0 )) )/(x - x0 ) g(x) sættes uden for en parentes i første led og f(x0) i andet led
=(f(x)-f(x0))/(x- x0)·g(x)+ f(x0 )· (g(x)-g(x0))/(x- x0 )
Her optræder både differensbrøken for f og g. Deres grænseværdi for x →x0 er henholdsvis f’(x0) og g’(x0) ifølge det givne. Man ser derfor at funktionen y = f(x) · g(x) gælder, at y’ = f’(x0) · g(x0) + f(x0) · g(x0). Sætningen er bevist.
På forhånd tak,
Sarah
Svar #1
19. februar 2011 af mette48 (Slettet)
Du har lavet nogle fejl undervejs, bl.a. ikke fået 0 med alle steder
(f(x)·g(x)- f(x0 )·g(x0 ))/(x - x0 ) =
Leddet f(x0) · g(x) trækkes fra og lægges til
(f(x)*g(x)-f(x0)*g(x)+f(x0)g(x)-f(x0)*g(x0))/(x-x0)=
g(x) sættes uden for en parentes i første led og f(x0) i andet led
(g(x)*(f(x)-f(x0)) + f(x0)g(x)-f(x0)g(x0)/(x-x0) =
f(x0) sættes uden for en parentes i de 2 sidste led
(g(x)*(f(x)-f(x0) + f(x0)(g(x)-g(x0))/(x-x0) =
brøken deles i to brøker med samme nævner
(g(x)*(f(x)-f(x0)/(x-x0) + f(x0)(g(x)-g(x0))/(x-x0) =
g(x)*f'(x)+f(x)*g'(x)
Skriv et svar til: Produktreglen
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.