Differentiation

Der er ikke tale om ligninger, men om funktioner. Ja, de kan da differentieres ved håndkraft. Benyt reglen om differentiation af en sammensat funktion.

#1

Ja, det var ren slåfejl.

Du siger en sammensat funktion, men vi har da en brøk?

#1

Problemet er løst. Tak for hjælpen.

Jeg har en lidt mere kompliceret opgave, som er to ligninger med to ubekendte, hvor der indgår cos og sin:

27sin(θ) - 4xsin(θ) + 2xcos(θ)sin(θ) = 0

27xcos(θ) - 2x²cos(θ) - x²sin²(θ) + x²cos²(θ) = 0

Hvordan kan jeg løse denne type opgave?

Det er lidt mere overskueligt, hvis du dividerer den første ligning med sin(θ) og den anden ligning med x:

27 -4x +2x·cos(θ) = 0

27cos(θ) -2x·cos(θ) -x·sin(θ)² +x·cos(θ)² = 0

Elimineres x af de to ligninger, får man ligningen

2cos(θ) + sin(θ)² - cos(θ)² = cos(θ)·(4 - 2cos(θ)) ,

der er en 2.-gradsligning i cos(θ)

#5

Hvad gør du, når du siger, at du eliminerer x af de to ligninger. Dividerer du med x i begge ligninger?

#6

Den første ligning giver

x = 27/(4 - 2·cos(θ)) , og den anden giver

x = 27·cos(θ) / (2cos(θ) + sin(θ)² - cos(θ)²)

Sæt de to højresider lig hinanden og gang overkors.

#7

Ja, så langt er jeg med.

Hvad kommer så efterfølgende? Kan ikke se, hvordan det sidste skal løses.

#8

Det reduceres faktisk til en lineær ligning i cos(θ):

2cos(θ) +1 - cos(θ)² - cos(θ)² = 4cos(θ) - 2cos(θ)² , eller

2cos(θ) = 1 , dvs

cos(θ) = 1/2 ⇒ θ = π/3 ∨ θ = 5π/3 ,

og dermed

x = 27/(4 - 2cos(θ)) = 27/(4 - 1) = 27/3 = 9

#9

Hvad laver du i første linie?

#10

Jeg benytter, at sin(θ)² = 1 - cos(θ)² .

#11

Tak. Det giver god mening det hele.

#12

Nu, hvor jeg før dividerede med x og sin(θ) , skulle der jo tages det forbehold, at x ≠ 0 og sin(θ) ≠ 0 . Det ses, at x = 0 , sin(θ) = 0 også er en løsning til ligningssystemet.

Den fuldstændige løsning, med 0 ≤ θ < 2π er da

x = 0 ∧ (θ = 0 ∨ θ = π) , eller

x = 9 ∧ (θ = π/3 ∨ θ = 5π/3)

#13

Hvorfor skulle der tages forbehold, at x ≠ 0 og sin(θ) ≠ 0?

#14

Fordi vi jo dividerede de to ligninger med hhv x og sin(θ) , og det forudsætter, at divisoren er ≠ 0 . Man skal så særskilt undersøge, om man derved udelukker løsninger.

Alternativt kunne vi have sat x udenfor som faktor i den ene ligning og sin(θ) udenfor i den anden, og så benytte nulreglen til at udskille det ene sæt ligninger.

#15

Ja, det kan jeg se. Tak.