Differentialligning

Banen for partiklens bevægelse kan beskrives ved en parameterfremstilling, hvor man kan vælge at bruge tiden t som parameter, eller buelængden s som parameter. Idet x = x(t) og y = y(t), er dermed T = T(x(t),y(t)) en funktion af parameteren t for partiklen i denne bevægelse. Beregn dT/ds i det givne punkt P og dernæst dT/dt i det samme punkt.

Partiklen bevæger sig i en bane givet ved at den til tiden t har koordinaterne (y(t),x(t), Så den føler temperaturen T(x(t)), y(t)). På et eller andet tidspunkt t₀ er den i punktet P. Til den tid og i det punkter føler den så temperaturen  T(x(t0), y(t0)). Hastigheden hvormed temperaturen ændrer sig er  dT(x(t), y(t))/dt.

#1 og #2

I skriver noget om en partikel, der bevæger sig i en bane. Skal jeg opstille en ligning for denne først, eller har jeg ikke forstået det korrekt?

#3

Ja, for du skal jo betragte temperaturen T i punkter langs partiklens bane.

#4

En parameterfremstilling er et udtryk, hvor man skal kende et start punkt og en retningsvektor. Er startpunktet et vilkårligt punkt så længe jeg er oven på cirklen med en radius på 1 m? F.eks. (x,y) = (1,0)? Hvad med retningsvektoren?

#5. Det er en parameterfremstilling for en linje, du omtaler; men der findes også parameterfremstilling for andre banekurver. Som det fremgår af opgaven bevæger partiklen sig i en jævn cirkelbevægelse. Slå op i din fysikbog, og se der hvordan sådan en bevægelse beskrives.

#6

Parameterfremstillingen for en cirkel, med centrium i C(a,b), radius r og parameteren t kan skrives:

x = a + r cos(t)

y = b + r sin (t)

I mit tilfælde hedder den så:

x = 0 + cos(t)

y = 0 + sin (t)

Er det korrekt?
 

Det er godt nok en cirkelbevægelse; men den har ikke hastigheden 2 m/s. Du skal også lægge mærke til retningen.

#8

Jeg kan ikke finde andre, der giver mening i min formelsamling. Har du et forslag?

#9

Parameterefremstillingen

(x,y) = r·(cos(u),sin(u))

fremstiller en cirkel med radius r og centrum i (0,0), hvor punktet bevæger sig mod uret. Her skal du beskrive en partikel, der bevæger sig med uret. Dette kan opnås ved at benytte t = -u som parameter.

#10

Det var også den jeg skrev i #7, men den opfylder åbenbart ikke hastigheden partiklen drejer med. Eller gør den det alligevel?

#11

nej, det gør den ikke. Men det opnår man, som jeg skrev i #10, ved at benytte t = -u som parameteren:

(x(t) , y(t)) = r·(cos(t) , -sin(t))

#12

Ok, vi erstatter u med t = -u, hvilket gør at partiklen drejer med uret.

Hvordan ved du, at udtrykket tilfredsstiller hastigheden. Lad os sige hastigheden var noget meget større, ville man stadigvæk bruge det samme udtryk så?

Hvorfor har du sat sinus til at være negativ?

#13

Nej, hastigheden er ikke tilpasset endnu. Det kan du jo ændre ved at skalere parameteren til ωt.

(x(t) , y(t)) = r·(cos(ωt) , -sin(ωt))

Som jeg skrev før, fik vi partiklen til at bevæge sig med uret, ved at sætte t = -u, u = -t. Der blev her benyttet, at cos(t) er en lige funktion: cos(-t) = cos(t), og at sin(t) er en ulige funktion: sin(-t) = -sin(t) .

#14

Det er så her jeg kan erstatte ω med hastigheden, er det ikke rigtigt?

Hvad er egentlig forskellen mellem "u" som du skrev først og "t" som du skriver om til?

#15

t = -u vender fortegnet på tiden.

#16

Ok. u og t er altså tid, men er "modsatrettet" hvis man kan sige på den måde.

Vi har nu bestemt vores parameterfremstilling. Skal hhv. x- og y-udtrykket fra parameterfremstillingen indsættes i T(x,y) funktionen, og derefter differentiere, hvor man indsætter variablen lig punktet P?

#17

Ja, når x(t) og y(t) indsættes i T(x,y) bliver T dermed en funtion af t, som så kan differentieres. Den afledede beregnes så i den værdi af parameteren t, der svarer til punktet P.

#18

Hvordan beregnes t som tager udgangspunkt i punktet P?

nej. Du skal differentiere parameterfremstillingen i #13. Det giver hastigheden som funktion af t. Find derefter længden af hastighedsvektoren. Du kan også slå op i din fysikbog.