Matematik

Logistisk vækst - største væksthastighed

16. marts 2011 af AnetteT (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej

Jeg er blevet stillet denne opgave:

I en model betegner V vægten af en gris til tidspunktet t. I modellen antages det, at V er løsning til differentialligningen:
dV/dt=0,000193*V(139,6-V)
hvor V måles i kg, og t måles i døgn efter at grisen er begyndt at indtage fast føde.
Grisens vægt er 7,3 kg, når den begynder at indtage fast føde.

a) Bestem en forskrift for V.

Her har jeg brugt desolve i TI, og fået at forskriften er:
v=(139,6*1,02731^t)/(1,02731^t+18,1233)

b) Bestem ved hjælp af modellen grisens vægt til det tidspunkt, hvor væksthastigheden er
størst.

Her plejer man vist normalt at se hvad M (den øvre grænse) er i tælleren, dividere med to og derefter finde den x værdi der passer til. Men hvad er M, når der er ^t med i billedet?

Håber i forstår :) Og kan svare rimelig hurtigt.


Brugbart svar (4)

Svar #1
16. marts 2011 af mathon

                  V(t) = 139,6/(1+C·e-0,026943·t)               gennem (0;7.3)

                  7,3 = 139,6/(1+C·e-0,026943·0)

                  7,3 = 139,6/(1+C)

                  1 + C = 139,6/7,3 = 19,1233

                   C = 18,1233
dvs
                   V(t) = 139,6/(1+19,1233·e-0,026943·t)
 


Brugbart svar (5)

Svar #2
16. marts 2011 af mathon

                  d2V/dt2 = 0,000193·(dVdt)·(139,6-V) + 0,000193·V·(-dV/dt)

                  d2V/dt2 = 0,000193·(139,6-V-V)·(dV/dt)

                  d2V/dt2 = 0,000193·(139,6-2V)·0,000193·V(139,6-V)

                  d2V/dt2 = (3,7249·10-8)·V(139,6-V)·(139,6-2V)           0<V<139,6

ekstremum kræver derfor

                   d2V/dt2 = 0
                                                                      (139,6-2V) = 0

                                                                      V = 139,6/2 = 69,8

                                                                      69,8 = 139,6/(1+19,1233·e-0,026943·t)

                                                                      1+19,1233·e-0,026943·t = 2

                                                                      19,1233·e-0,026943·t = 1

                                                                       e-0,026943·t = 19,1233-1

                                                                       e0,026943·t = 19,1233

                                                                       0,026943·t = ln(19,1233)

                                                                       t = ln(19,1233) / 0,026943 = 109,524 døgn
                                                                                                                              3 måneder 20 dage


                   dV/dt er størst ved vægten 69,8 kg,
                   som opnås 3 måneder 20 dage efter,
                   at grisen er begyndt at indtage fast føde.
           
                          


Svar #3
16. marts 2011 af AnetteT (Slettet)

Lige et enkelt spørgsmål: Hvordan kom du frem til -0,026943?

Ellers mange tak for svaret :)


Brugbart svar (3)

Svar #4
16. marts 2011 af Andersen11

#3

0,026943 = ln(1,02731)


Brugbart svar (3)

Svar #5
16. marts 2011 af mathon

            

  V(t) = 139,6/(1+19,1233·e-0,000193·139,6·t) = 139,6/(1+19,1233·e-0,026943·t) =
                                                                       139,6/(1+19,1233·0,973417t)


Brugbart svar (2)

Svar #6
18. marts 2011 af mathon

alment
                 løsningen til
                                             dy/dx = a·y·(M-y)
                 er
                                              y = M/(1+C·e-a·M·x)


Brugbart svar (1)

Svar #7
18. marts 2011 af cag0017 (Slettet)

@Mathon.

I dine besvarelser har du indsat 19.1233 i stedet for 18.1233, dette vil give det forkerte resultat. Men jeg regner bare med at det er en typo (selvom du har gjort det alle stederne).


Brugbart svar (2)

Svar #8
18. marts 2011 af Andersen11

#7

I indlæggene ovenfor skelner Mathon mellem 1+C = 19,1233 og C = 18,1233 .


Brugbart svar (1)

Svar #9
18. marts 2011 af mathon

klar tastfejl
                            C = 18,1233


Brugbart svar (1)

Svar #10
20. marts 2011 af mathon

korrektion i #2 efter vågen fejlfinding i #7

             

ekstremum kræver derfor

                   d2V/dt2 = 0
                                                                      (139,6-2V) = 0

                                                                      V = 139,6/2 = 69,8

                                                                      69,8 = 139,6/(1+18,1233·e-0,026943·t)

                                                                      1+18,1233·e-0,026943·t = 2

                                                                      18,1233·e-0,026943·t = 1

                                                                       e-0,026943·t = 18,1233-1

                                                                       e0,026943·t = 18,1233

                                                                       0,026943·t = ln(18,1233)

                                                                       t = ln(18,1233) / 0,026943 = 107,531 døgn
                                                                                                                              3 måneder 14 dage


                   dV/dt er størst ved vægten 69,8 kg,
                   som opnås 3 måneder 14 dage efter,
                   at grisen er begyndt at indtage fast føde.
           
                          


Brugbart svar (1)

Svar #11
11. april 2011 af Trineeee (Slettet)

 Jeg sidder lige og bikser med samme opgave.. 

Jeg har differentieret differentialligningen til 

V''(t)= 0,026943-0,000386t. 

Herefter har jeg fundet differentialligningens toppunkt ved at sige V''(t)=0 

Her har jeg fået t-værdien til 69,08.. 
Såvidt jeg kan se mig ud af det, vil det sige at grisen tager mest på efter ca. 70 dage? , hvor grisen på dette tidspunkt kommer til at veje ca. 37 kg. 


Brugbart svar (1)

Svar #12
11. april 2011 af Andersen11

#11

Du kan jo så tjekke dine beregninger med løsningen i #10 .


Brugbart svar (2)

Svar #13
11. april 2011 af Trineeee (Slettet)

 Ja, men jeg synes netop ikke mit stemmer overens med Mathons, og synes mit gav meget god mening.
(?)   


Brugbart svar (1)

Svar #14
02. maj 2011 af hjælp, tak :)

Hej Mathon :)

Kunne du forklare lidt mereom hvordan du finder svaret i opg b? Er det generelt at den største værksthastighed for en sådan model findes ved af d2V/dt2 = 0? Og hvorfor ganger du med dv/dt?'

Mvh


Brugbart svar (1)

Svar #15
02. maj 2011 af mathon

eller med
                        a = 0,000193    og M = 139,6
skrevet

                                 dV/dt = a·V·(M-V) >0         da
                                                                                       0 < V < M

                                 d2V/dt2 = a·(dV/dt)·(M-V) + a·V·(-(dV/dt))  =  a·(dV/dt)·(M-2V)
hvor
                                                                                                               a·(dV/dt) > 0     da a>0

maksimal væksthastighed
kræver således
                                 d2V/dt2 = 0 = a·(dV/dt)·(M-2V)
hvoraf
                                          M-2V = 0

                                          V = M/2
dvs

                                          V = 139,6/2 = 69,8
 

                                                          


 


Brugbart svar (1)

Svar #16
05. maj 2011 af hjælp, tak :)

Det var dejlig smart! Mange tak :)


Brugbart svar (0)

Svar #17
10. januar 2013 af MrEr

Er her en, der kan fortælle mig, hvordan dy/dt=0.000193·V(136.9-V)   , differentieret giver: 

d2V/dt2 = 0,000193·(dVdt)·(139,6-V) + 0,000193·V·(-dV/dt)

???


Brugbart svar (0)

Svar #18
10. januar 2013 af Andersen11

#17

Det følger af reglen for differentiation af et produkt

(f(x) · g(x))' = f '(x)·g(x) + f(x)·g'(x)

dV/dt = 0,000193·V(136,9-V) ⇒

d2V/dt2 = (0,000193·V)'·(136,9-V) + 0,000193·V·(136,9-V)'

              = 0,000193·V'·(136,9-V) + 0,000193·V·(-V')


Brugbart svar (0)

Svar #19
10. januar 2013 af MrEr

Aha.. Det kan jeg godt se! .. Et sidste spørgsmål, hvordan bliver det til d2V/dt?


Brugbart svar (0)

Svar #20
11. januar 2013 af Andersen11

#19

Man differentierer dV/dt = V' . Sådan skrives den 2. afledede d2V/dt= V'' .


Forrige 1 2 Næste

Der er 21 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.