Logistisk vækst - største væksthastighed

                  V(t) = 139,6/(1+C·e^-0,026943·t)               gennem (0;7.3)

                  7,3 = 139,6/(1+C·e^-0,026943·0)

                  7,3 = 139,6/(1+C)

                  1 + C = 139,6/7,3 = 19,1233

                   C = 18,1233
dvs
                   V(t) = 139,6/(1+19,1233·e^-0,026943·t)
 

                  d²V/dt² = 0,000193·(dVdt)·(139,6-V) + 0,000193·V·(-dV/dt)

                  d²V/dt² = 0,000193·(139,6-V-V)·(dV/dt)

                  d²V/dt² = 0,000193·(139,6-2V)·0,000193·V(139,6-V)

                  d²V/dt² = (3,7249·10^-8)·V(139,6-V)·(139,6-2V)           0<V<139,6

ekstremum kræver derfor

                   d²V/dt² = 0
                                                                      (139,6-2V) = 0

                                                                      V = 139,6/2 = 69,8

                                                                      69,8 = 139,6/(1+19,1233·e^-0,026943·t)

                                                                      1+19,1233·e^-0,026943·t = 2

                                                                      19,1233·e^-0,026943·t = 1

                                                                       e^-0,026943·t = 19,1233^-1

                                                                       e^0,026943·t = 19,1233

                                                                       0,026943·t = ln(19,1233)

                                                                       t = ln(19,1233) / 0,026943 = 109,524 døgn ≈
                                                                                                                              3 måneder 20 dage

                   dV/dt er størst ved vægten 69,8 kg,
                   som opnås 3 måneder 20 dage efter,
                   at grisen er begyndt at indtage fast føde.
           
                          

Lige et enkelt spørgsmål: Hvordan kom du frem til -0,026943?

Ellers mange tak for svaret :)

#3

0,026943 = ln(1,02731)

  V(t) = 139,6/(1+19,1233·e^{-0,000193·139,6·t}) = 139,6/(1+19,1233·e^-0,026943·t) =
                                                                       139,6/(1+19,1233·0,973417^t)

alment
                 løsningen til
                                             dy/dx = a·y·(M-y)
                 er
                                              y = M/(1+C·e^-a·M·x)

@Mathon.

I dine besvarelser har du indsat 19.1233 i stedet for 18.1233, dette vil give det forkerte resultat. Men jeg regner bare med at det er en typo (selvom du har gjort det alle stederne).

#7

I indlæggene ovenfor skelner Mathon mellem 1+C = 19,1233 og C = 18,1233 .

klar tastfejl
                            C = 18,1233

korrektion i #2 efter vågen fejlfinding i #7

ekstremum kræver derfor

                   d²V/dt² = 0
                                                                      (139,6-2V) = 0

                                                                      V = 139,6/2 = 69,8

                                                                      69,8 = 139,6/(1+18,1233·e^-0,026943·t)

                                                                      1+18,1233·e^-0,026943·t = 2

                                                                      18,1233·e^-0,026943·t = 1

                                                                       e^-0,026943·t = 18,1233^-1

                                                                       e^0,026943·t = 18,1233

                                                                       0,026943·t = ln(18,1233)

                                                                       t = ln(18,1233) / 0,026943 = 107,531 døgn ≈
                                                                                                                              3 måneder 14 dage

                   dV/dt er størst ved vægten 69,8 kg,
                   som opnås 3 måneder 14 dage efter,
                   at grisen er begyndt at indtage fast føde.
           
                          

 Jeg sidder lige og bikser med samme opgave.. 

Jeg har differentieret differentialligningen til 

V''(t)= 0,026943-0,000386t. 

Herefter har jeg fundet differentialligningens toppunkt ved at sige V''(t)=0 

Her har jeg fået t-værdien til 69,08.. 
Såvidt jeg kan se mig ud af det, vil det sige at grisen tager mest på efter ca. 70 dage? , hvor grisen på dette tidspunkt kommer til at veje ca. 37 kg. 

#11

Du kan jo så tjekke dine beregninger med løsningen i #10 .

 Ja, men jeg synes netop ikke mit stemmer overens med Mathons, og synes mit gav meget god mening.
(?)   

Hej Mathon :)

Kunne du forklare lidt mereom hvordan du finder svaret i opg b? Er det generelt at den største værksthastighed for en sådan model findes ved af d2V/dt2 = 0? Og hvorfor ganger du med dv/dt?'

Mvh

eller med
                        a = 0,000193    og M = 139,6
skrevet

                                 dV/dt = a·V·(M-V) >0         da
                                                                                       0 < V < M

                                 d²V/dt² = a·(dV/dt)·(M-V) + a·V·(-(dV/dt))  =  a·(dV/dt)·(M-2V)
hvor
                                                                                                               a·(dV/dt) > 0     da a>0

maksimal væksthastighed
kræver således
                                 d²V/dt² = 0 = a·(dV/dt)·(M-2V)
hvoraf
                                          M-2V = 0

                                          V = M/2
dvs

                                          V = 139,6/2 = 69,8
 

Det var dejlig smart! Mange tak :)

Er her en, der kan fortælle mig, hvordan dy/dt=0.000193·V(136.9-V)   , differentieret giver: 

d2V/dt2 = 0,000193·(dVdt)·(139,6-V) + 0,000193·V·(-dV/dt)

???

#17

Det følger af reglen for differentiation af et produkt

(f(x) · g(x))' = f '(x)·g(x) + f(x)·g'(x)

dV/dt = 0,000193·V(136,9-V) ⇒

d²V/dt² = (0,000193·V)'·(136,9-V) + 0,000193·V·(136,9-V)'

              = 0,000193·V'·(136,9-V) + 0,000193·V·(-V')

Aha.. Det kan jeg godt se! .. Et sidste spørgsmål, hvordan bliver det til d²V/dt² ?

#19

Man differentierer dV/dt = V' . Sådan skrives den 2. afledede d²V/dt² = V'' .