Matematik A - Funktionsopgave

 Jeg har tænkt på at skulle trække funktionerne fra hinanden, men jeg har lidt svært ved at komme videre. Har brug for lidt hjælp.

Den lodrette afstand mellem de to funktioner er

d(x) = | f(x) - g(x) |

At gøre denne afstand mindst mulig er ensbetydende med at gøre afstandskvadratet d(x)² mindst mulig, altså

D(x) = d(x)² = ( f(x) - g(x) )² = f(x)² + g(x)² - 2·f(x)·g(x)

Prøv nu at finde minimum for funktionen D(x), dvs løs ligningen D'(x) = 0 .

D'(x) = 0   ⇒   2 · (f(x) - g(x)) · (f'(x) - g'(x)) = 0

Brug nu nulreglen for et produkt.

 Ville det ikke være muligt bare at tage de to funktionerne og trække dem fra hinanden, hvorefter du får en ny funktion, som du kan differentiere og sætte lig nul for at finde værdien x for minimumspunktet?

 Er det nødvendigt at skulle finde afstandskvadratet d(x)2 ?

#3

Den funktion måler afstanden med fortegn. Dens minimum er ikke nødvendigvis den mindste afstand.

#4

Hvis du ikke gør det, udelukker du mulige løsninger til ligningen f(x) = g(x) .

#5 . Nårh ja, det kan jeg godt se nu.

Men hvis man kun får et eneste ekstremumspunkt for d(x) = |f(x) - g(x)| og dette er et minimumspunkt, så må det vel betegne afstanden mellem graferne. Eller hvad?

#7

Hvis du kan vise, at f(x) > g(x) for alle x, er det tilstrækkeligt at se på funktionen

d(x) = f(x) - g(x) .

Derved får man d'(x) = 0 ⇒ f'(x) = g'(x)

Det er ækvivalent med løsningerne til ligningen (f(x) - g(x))·(f'(x)-g'(x)) = 0 , hvis vi har vist, at f(x) - g(x) > 0 for alle x.

Jeg foretrak fremgangsmåden i #2, fordi den er mere generel og også fanger de mulige løsninger til ligningen f(x) = g(x) , (som i dette tilfælde ikke har nogen løsninger) .

 Ja, mange tak for den gode forklaring. Det er altid godt, når man er i samtale med vidende personer.

Så afstanden er mindst mulig når x=1,8

#10

Mere præcist finder man x ≈ 1,801564

#6 ... vil du lige uddybe det :)

#12

Læs forklaringen i #8.

2# At gøre denne afstand mindst mulig er ensbetydende med at gøre afstandskvadratet d(x)^2 mindst mulig, altså, nogle som kan forklare dette med andre ord? :)

#14

Når du anvender afstandskvadratet sikrer du dig at funktionen (og dermed afstanden) altid vil have positivt fortegn.

 tusind tak for hjælp:)!

 det er opgave 9 i dette sæt jeg skal lave. hvis dette link ku hjælpe http://www.uvm.dk/~/media/Files/Udd/Gym/PDF10/Proever%20og%20eksamen/Tidligere%20skriftlige%20opgavesaet%20stx%20og%20hf/Matematik/

#17

Ja, jeg lavede selv opgaven tidligere på året.

Du kan bare tillade dig at foretage en fortegnsanalyse for funktionen d(x) = |f(x) - g(x)|. Dette gør at du får det lokale minimumspunkt, x ≈ 1,801564.