Middelsum for y =x

Intervallerne er da lige store, hver med længden 1/n . Der er tale om at beregne en sum af formen

S = ∑_j=1ⁿ  f(x_j)·Δx_j = ∑_j=1ⁿ  f(j/n)·Δx = Δx·∑_j-1ⁿ (j/n) = (1/n)·(1/n)·∑_j=1ⁿ  j

    = (1/n)²·n·(n+1)/2 = (n+1)/(2n)  → (1/2) for n → ∝

ups ja men i min bog bliver intervallerne skrevet op som: 1/n, 2/n,3/n. det var det der skulle have stået

·∑j=1n j står dette for (n+1) ?

 for y =x³

         n                          n
 S = ∑   f(x₁) *Δx =     ∑    ( i / n)³ *(1/n) = (1/n⁴) * (1³+2³+3³+...+n³)
        I=1                       i =1

S_n = 1³ + 2³ +3³+...+n³ = (n²(n+1)²) / 4

(Dette er taget fra min lærebog)

Det jeg ikke forstår er stort set den første del her - hvorfor at bliver til (i /n )3 *1/n = 1/n⁴ * (1³ + 2³ osv)?

desuden

  f(x₁) *Δx, hvad står disse to da for?

Min opgave går ud på at kunne forklare alt ved det, som jeg har vedhæftet her. Hvordan man gør det etc, hvorfor osv. synes det er tricky

Jeg tror du har blandet noget sammen. Der er n intervaller, som er lige store. Da summen af intervallerne skal give 1, har hvert interval længden Δx=1/n. I intervallet [ (i-1)/n; i/n]  tilnærmer man funktionsværdien, så den har værdien f(i/n) i hele intervallet. Arealet under kurven er så f(i/n)*Δx. = f(i/n)/n. Lægger du så alle de arealer sammen får du at arealet under kurven med tilnærmelse er

∑f(i/n)/n -> ∫₀¹f(x)dx for n ->∞

Du kan så indsætte den aktuelle funktion for f(x). I den første er f(x) = x, i den anden er f(x) = x³.

 jamen hvad er det, at i står for?, og når du siger, at funktionsværdien  f(i/n) i hele intervallet, så det så ligegyldt hvilket x man vælger, så bliver funktionsværdien f(i/n) ?

og når man siger 1/n, er der så ikke uendeligt mange intervaller?

#6

Man inddeler integrationsintervallet  [0 ; 1]  i n lige store delintervaller. Hvert interval har da længden Δx = 1/n . Det i'te interval er [x_i-1 ; x_i] , hvor x_i = i/n . Ved opstillingen af en middelsum for integralet vælger man for hvert delinterval [x_i-1 ; x_i] et ξ_i i intervallet. Her vælges ξ_i = x_i = i/n , så den valgte middelsum bliver

₀∫¹ f(x) dx ≈ S = ∑_i=1ⁿ  f(ξ_i)·Δx = ∑_i=1ⁿ  f(i/n)·Δx = (1/n)·∑_i=1ⁿ  f(i/n)

 #7

Ved ikke om jeg har en brist et eller andet sted, for jeg forstår simpelthen ikke det med "det i'te interval".  

Lad os sige du bruger n = 10. Det første interval er så [0; 1/10] Det andet interval er [1/10; 2/10] Det 3. interval er [2/10; 3/10] .... det tiende interval er [9/10; 10/10]

ja det kan jeg godt forstå, men ikke forklaringen med  [xi-1 ; xi]

I eksemplet i #9 er for i = 3 (altså det tredje interval ) [x_i-1; x_i] = [x₂; x₃]  = [2/10; 3/10]

ahaha, så det hedder i - 1  således at det bliver 2, så intervallet bliver som du siger [2/10; 3/10]

ja

Super. mange tak. I appreciate your help.