Differentialligning

26. marts 2011 af OktayGE (Slettet) - Niveau: B-niveau

Hej

Hurtigt spørgsmål...

Differentialligningen dy/dx = -2xy+x har en løsning y=f(x) hvis graf går gennem P(1,2).

Bestem en forskrift for f.

Så skal jeg først samle alle y og x-værdier på hver sin side af lighedstegnet men er dette gjort her:

y'+2xy=x

Hvis ikke, hvordan får jeg så det sidste x over??

Brugbart svar (0)

Svar #1
26. marts 2011 af Walras

Løs den med desolve, det er nemmest.

desolve(y'=-2x*y+x and y(1)=2,x,y)

som giver dig den partikulere løsning

y(x)=(3/2)e^(1-x^2)+1/2

Svar #2
26. marts 2011 af OktayGE (Slettet)

ja, men opgaven må desværre ikke regnes med lommeregner eller mere korrekt "desolve"

Brugbart svar (0)

Svar #3
26. marts 2011 af Walras

Så kan du løse den ved seperation af variable. Benyt, at differentialligningen er skrevet på Leipnizform og seperer da x'erne fra y'erne

dy/dx =-2xy+x <=> dy/dx=x(1-2y) <=> 1/(1-2y)dy=xdx

Integrer nu begge sider, så

-ln(|1-2y|)/2=1/2x²+k

og reducer

ln(|1-2y|)=-x²+θ <=> 1-2y=e^{-x^}^2+θ <=> y=Ce^{-x^2}+1/2, hvor θ=-2k og C=e^θ

Indsæt nu dit punkt, så

2=Ce^{-1^2}+1/2 <=> 3/2=Ce^-1<=> C=(3/2)e,

hvorfor du har den partikulære løsning

y=(3/2)e·e^{-x^2}+1/2=(3/2)e^{1-x^2}+1/2,

som lige netop var det, vi skulle finde.

Skriv et svar til: Differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.