Angiv sidste ciffer i tallet

Det kan klares nemmere Hvis du prøver at skrive 9. 9², 9³ o.s.v op vil du se at sidste ciffer er 9 for potensen ulige og 1 for potensen lige. Det kan nemt vises strengt ved induktion. Så er det bare at se om 9⁹ er lige eller ulige

    i
         9·9·9·.................           ender skiftevis på 1 og 9

         9^x  ender på 1 når x er lige

         9^x  ender på 9 når x er ulige

         9⁸¹ ender altså på 9

... og da 9⁹ også er ulige, ender 9^{9^9} også på 9 .

Ja, det kan jeg egentlig sagtens se nu, men hvad så med det andet sidste ciffer? Bliver det så nødvendigt med Eulars phifunktion? 

Hvad mener du med "det andet sidste ciffer" ? Det er ikke omtalt i #0

Nej, det er ikke omtalt i #0. 
Hvis man skulle bestemme det ciffer før det sidste, hvordan ville man så bære sig ad?
Ville man om nødvendigt kunne bruge Eulars phifunktion der? 

Jeg mener, at det andet sidste ciffer i 19909 vil være 0. 

#6

Hvordan kommer Euler's φ-funktion ind i billedet?

Ja, det ses ved observation, at det andet sidste ciffer i 19909 er 0 . Hvor kommer tallet 19909 fra?

#7 Det var bare et eksempel. 
Det var egentligt bare et forsøg på, at løse opgaven. Opgaven lød på at bestemme det andet sidste ciffer i tallet, altså ni i niende i niende. Opgaveformuleringen i #0 var forkert, det var det andet sidste ciffer der skulle findes.

Jeg fik et tip om, at jeg kunne tage Euler's φ-funktion i brug. 

Jeg havde ikke rigtig noget overblik over opgaven, og jeg var ikke helt klar på Euler's φ-funktion, så jeg søgte hjælp herinde. 

Du kan finde det næstsidste ciffer ved at beregne 9^{9^9} mod 100 Der gælder at a^φ(n) ≡ 1 mod n Ved at finde φ(100)  kan du finde  9⁹≡φ(n) og dermed  kan du reducere problemet væsentlig

sidste linje i #2 skal selvfølgelig være

      9^{9^9} = 9^{ulige eksponent} hvorfor sidste ciffer er 9