Matematik

integraler

02. april 2014 af Ibo199 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

$\int \int\int_{B} (x^2+y^2) dV$

Where the B is the ball given by:

$x^2+y^2+z^2\leq a^2$

Nogen der kan hjælpe?

Brugbart svar (0)

Svar #1
02. april 2014 af Andersen11 (Slettet)

Det er måske lettest at benytte sfæriske koordinater

      $x=r \, \sin\theta \, \cos\varphi$
      $y=r \, \sin\theta \, \sin\varphi$
      $z=r \, \cos\theta$

med

$\mathrm{d}V=r^2 \sin \theta \,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi.$

Svar #2
02. april 2014 af Ibo199 (Slettet)

Er lidt i tvivl men vil grænserne ikke være 0-2pi for henholdsvis r, phi og theta.?
Og er r, phi og theta lig med.?
r = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)
phi = tan^-1(r/z)
theta = tan^-1(y/x)
En ting mere: Når der bare står "x^2 + y^2" betyder det så, at x = 1 og y = 1?

Brugbart svar (0)

Svar #3
03. april 2014 af Andersen11 (Slettet)

De sfæriske koordinater er defineret præcist i #1. Da B er en kugle med radius a , vil der så gælde

0 ≤ r ≤ a , 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ φ ≤ 2π .

Funktionen, der skal integreres er x²+y² . Den kan man da ikke bare ignorere og sætte lig med 1.

Man har så

$\int \int \int _{B}(x^{2}+y^{2})\textup{d}V=\int_{0}^{a}\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{\pi }r^{2}\sin ^{2}\theta \cdot r^{2}\sin \theta \textup{d}\theta \textup{d}\varphi \textup{d}r$

Svar #4
03. april 2014 af Ibo199 (Slettet)

En allersidste spørgsmål: hvordan kommer du fra x^2 + y^2 = R^2 * sin^2 phi? Går ud fra du tager udgangspunkt i de spæriske koordinater i #1 har jeg forstået rigtigt?

Brugbart svar (0)

Svar #5
03. april 2014 af Andersen11 (Slettet)

Ja, når man benytter de sfæriske koordinater, skal alt jo udtrykkes i disse koordinater. Så er

x² + y² = r²·sin²(θ)

(ikke R² sin²(φ) som du skriver).

Brugbart svar (0)

Svar #6
03. april 2014 af Andersen11 (Slettet)

Selve integralet udregnes let, da de tre integrationsvariable er uafhængige af hinanden og ikke indgår i grænserne:

$\int_{0}^{a}\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{\pi }r^{2}\sin ^{2}\theta \cdot r^{2}\sin \theta \textup{d}\theta \textup{d}\varphi \textup{d}r=\int_{0}^{a}r^{4}\textup{d}r\int_{0}^{2\pi }\textup{d}\varphi \int_{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \textup{d}\theta \newline =\frac{a^{5}}{5}\cdot 2\pi \cdot \int_{0}^{\pi }\left ( 1-\cos ^{2}\theta \right )\sin \theta \textup{d}\theta =\frac{2\pi a^{5}}{5}\left ( \left [ -\cos \theta \right ]_{0}^{\pi }+\int_{1}^{-1}u^{2}\textup{d}u \right )\newline =\frac{2\pi a^{5}}{5}\left ( 2-\frac{2}{3} \right )=\frac{4\pi }{3}a^{3}\cdot \frac{2}{5}a^{2}$

som man genkender som inertimomentet for en homogen massiv kugle med radius a og densitet 1 med hensyn til en akse gennem kuglens centrum.

Svar #7
03. april 2014 af Ibo199 (Slettet)

Jeg har endnu et spørgsmål og den her gang er det i #4:

konverteringen i #4 har jeg lidt svært ved at forstå, altså hvordan du kommer frem til.

x2 + y2 = r2·sin2(θ)

når jeg ser på det får jeg udtrykket til følgende

x^2 + y^2 = sin^2 theta * r^2 + sin^2 theta * r^2.

Dog kan jeg godt se, at sin^2 phi og cos^2 phi selfølgelig går ud via idiotformlen.

Brugbart svar (0)

Svar #8
03. april 2014 af Andersen11 (Slettet)

Det må være #5, du henviser til.

Man har jo

x = r·sin(θ)·cos(φ) og y = r·sin(θ)·sin(φ) ,

så

x² + y² = r²·sin²(θ)·(cos²(φ) + sin²(φ)) = r²·sin²(θ)

Svar #9
03. april 2014 af Ibo199 (Slettet)

Det ligner kraftigt for mig:

x² + y² = (r²·sin²(θ)·(cos²(φ) + sin²(φ))) + (r²·sin²(θ)·(cos²(φ) + sin²(φ))) = r²·sin²(θ) + (r²·sin²(θ)

Kan du forklare mig, hvorfor du ikke får det resultat som jeg opnår? Vi kan begge to blive meget enige om, at cos²(x) + sin²(x) = 1, hvorfor disse led udgår. Men det er som om, at du enten mangler et x- eller et y-koordinat, da du skriver, at det færdige resultat af konverteringen er: r²·sin²θ

Brugbart svar (0)

Svar #10
03. april 2014 af Andersen11 (Slettet)

Det er forkert, hvad du laver. Man har jo

x² + y² = r²·sin²(θ)·cos²(φ) + r²·sin²(θ)·sin²(φ)

= r²·sin²(θ)·(cos²(φ) + sin²(φ))

= r²·sin²(θ)

I de to led sætter man den fælles faktor r²·sin²(θ) uden for parentes og udnytter så, at

cos²(φ) + sin²(φ) = 1 .

Skriv et svar til: integraler

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.