Matematik

Bevis for skalarprodukt

05. april 2014 af Amril (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej, jeg vil gerne bevise hvordan man regner skalarprodukter med kendskab til koordinaterne. En af metoderne er, at opstille vektor a * vektor b som...

(a₁ * i + a₂ * j) * (b₁ * i + b₂* j)

...hvor i og j er basisvektorerne. Dette udtryk kan så reduceres, og man vil i sidste ende stå tilbage med...

a₁ * b₁+ a₂ * b₂

...hvormed formlen er bevist.... men i ovenstående reduktion skal jeg jo netop udregne gange basisvektorerne med hinanden (hvor svaret er enten 1 eller 0), og der skal jeg jo bruge den regel jeg er i gang med bevise :S? Kan man det?

Jeg ved godt, at formlen $\vec{a} * \vec{b} =$ a₁ * b₁ + a₂ * b₂ kan bevises ved cosinusesrelationen, men det er ikke den jeg er interesseret i anvende.

Brugbart svar (0)

Svar #1
05. april 2014 af mathon

Skalarproduktet mellem vektorerne
a og b er
$\vec{a}\cdot \vec{b}=\begin{pmatrix} a_1\\a_2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} b_1\\b_2 \end{pmatrix}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2$
og skal derfor ikke bevises.

Men der kan blive tale om en geometrisk tolkning af skalarproduktet.

Svar #2
05. april 2014 af Amril (Slettet)

Hvorfor skal den ikke bevises?

Brugbart svar (0)

Svar #3
05. april 2014 af mathon

Fordi definitioner ikke skal bevises. Betydningssammenhængen er fastlagt i og med definitionen.

Svar #4
05. april 2014 af Amril (Slettet)

Det er ikke en definition i vores lærebog. Det er en formel, som bevises?

Brugbart svar (0)

Svar #5
05. april 2014 af mathon

…i øvrigt er
$\vec{i}\cdot \vec{j}=\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}=1\cdot 0+0\cdot 1=0$
.
ifølge definitionen på skalarproduktet.

Brugbart svar (0)

Svar #6
05. april 2014 af mathon

Ikke desto mindre er det tilfældet.

Brugbart svar (0)

Svar #7
05. april 2014 af Andersen11 (Slettet)

Hvis sættet

{e_i} = {e₁,e₂,...,e_n}

er en ortonormal basis for et vektorrum, gælder der, at

e_i• e_j = δ_ij ,

og for to vektorer a = ∑ⁿ_i=1 a_i·e_i og b = ∑ⁿ_i=1 b_i·e_ihar man så

a • b = (∑ⁿ_i=1 a_i·e_i) • (∑ⁿ_i=1 b_i·e_i) = ∑ⁿ_i=1 a_i·b_i .

Brugbart svar (0)

Svar #8
05. april 2014 af mathon

…gælder indholdet i #7 pr. definition og skal ikke bevises. Det ligger ganske enkelt i fastlæggelsen af et
     vektorrums betydning og ændrer ikke noget - udover måske dets lidt overtrumfende
     overdommerpræsentation - ved ovenstående, der blot er begrænset til vektorrummet med n = 2, som det
     aktuelt handler om i al sin beskedenhed.

Brugbart svar (0)

Svar #9
05. april 2014 af SuneChr

Det må være vigtigt, at det skalære produkt er uafhængigt af valget af koordinatsystem.

Brugbart svar (0)

Svar #10
05. april 2014 af mathon

#9
       …er naturligvis vigtigt, men koordinattransformationsformler udover ren parallelforskydning kommer
          næppe på tale i aktuel gymnasiesammenhæng. Det er derfor hurtigt overset, at
          punktkoordinatdifferenserne for en vektorrepræsentant er bevaret uanset valg af koordinatsystem.

Brugbart svar (0)

Svar #11
06. april 2014 af mathon

Når a og b er enhedsvektorer og vinklen mellem dem er v
haves i koordinatsystemet med a og â som basisvektorer
bl.a.
$\cos(v)=\vec{b}\cdot \vec{a}=\vec{a}\cdot \vec{b}$ da skalarproduktet er kommutativt.

hvorfor for vilkårlige egentlige vektorer a og b

$\cos(v)=\frac{\vec{a}}{\left | \vec{a} \right |}\cdot \frac{\vec{b}}{\left | \vec{b} \right |}$

dvs
                 når vektorvinklen v
                                               er spids, er $\vec{a}\cdot \vec{b}> 0$
                                             er stump, er $\vec{a}\cdot \vec{b}< 0$
                                                 er ret, er $\vec{a}\cdot \vec{b}= 0$

Skriv et svar til: Bevis for skalarprodukt

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.