Matematik

cramers regel, løsning til lineære ligninger

22. april 2014 af nstella (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

jeg skal løse et ligningssystem bestående af 3 ligninger med 3 ubekendte. jeg anvender cramers regel, men jeg er gået lidt i stå.

problemet er at (så vidt jeg har forstået) kan cramer kun benyttes, hvis der er tale om en kvadratisk matrix, med samme række og kolonne nummer.

for lige at illustrere mit problem.

$\begin{matrix} & & \\ & & \\ & & \end{matrix}$ $\begin{bmatrix} x1 & x2 & -k\\\begin{bmatrix} \end{bmatrix} x1& x2& -n\\ x1& x2& -y \end{bmatrix}$ gange en vektor af z1,z2,z3 (ifølge cramers regel)

man udregner nu determinanten, men problemet er

$\begin{bmatrix} x1 &+x2 \\ x1& +x2\\ x1&+x2 \end{bmatrix}$ gange med $\begin{matrix} z1 & \\ z2 & \\ z3& \end{matrix}$ = $\begin{matrix} =-k & \\ =-n & \\ =-c& \end{matrix}$

som det ses resulterer det i at den første matrix nu kun har 2 søjler men 3 rækker! hvilket jo ikke er kvadratisk.

Brugbart svar (0)

Svar #1
22. april 2014 af peter lind

Du har ret i at Cramers regel kun kan bruges på kvadratisker matricer. De skal også være invertible. Determinanter eksisterer kun for kvadratiske matricer

Brugbart svar (0)

Svar #2
22. april 2014 af jnl123

3 ligninger med 3 ubekendte må have en kvadratisk system-matrix. Kan du ikke prøve at opskrive lignings-systemet?

Svar #3
22. april 2014 af nstella (Slettet)

Hej, tak for hjælpen.

jeg har vedhæftet ligningssystemet og hvad det skulle give, men vil gerne finde ud af hvordan man løser denne, da jeg bagefter skal løse et ligningssystem bestående af 4 ligninger med 4 ubekendte.

tak

Vedhæftet fil:Ligningssystemet.docx

Brugbart svar (0)

Svar #4
22. april 2014 af jnl123

Hvilke er de 3 ubekendte?

Svar #5
22. april 2014 af nstella (Slettet)

C, L1 og lambda

Brugbart svar (0)

Svar #6
22. april 2014 af jnl123

Sådan her ?

$\begin{pmatrix} \frac{\partial ^2 U}{\partial ^2 C}& \frac{\partial ^2 U}{\partial C \partial L_1}& -P \\ \frac{\partial ^2 U}{\partial L_1 \partial C} & \frac{\partial ^2 U}{\partial ^2 L_1} & -w \\ -P & -w & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dC \\ dL_1 \\ d \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ wd \bar{S} \end{pmatrix}$

Svar #7
22. april 2014 af nstella (Slettet)

tak, men jeg er ikke helt sikker på at jeg er med.

Har du omskrevet den med en nulrække eller lavet nogle rækkeoperationer?

Brugbart svar (0)

Svar #8
22. april 2014 af jnl123

Det skulle gerne være det samme lignings-system som vedhæftet i #3 - bare skrevet på matrix-form. Med mindre du ikke er enig?

Svar #9
22. april 2014 af nstella (Slettet)

ok, det kan jeg godt se nu. Tak!

men har nu prøvet at løse det, ved hjælp af determinantmetoden for en 3x3 matrice, og fundet et udtryk for de C,L1 og labmda.

men når jeg efterflg. skal finde

$\partial L1 / \partial \bar{S}$ , som gerne skulle give udtrykket i #3, hvilket det ikke gør (frustrerende).

jeg har vedhæftet min udregning, og jeg synes selv at det kører meget godt. Indtil selvfølgelig jeg skal finde $\partial L1 / \partial \bar{S}$ , hvor jeg ikke får udtrykket!

Vedhæftet fil:Ligningssystemet-1470249.docx

Brugbart svar (0)

Svar #10
22. april 2014 af jnl123

Jeg er ikke helt sikker på jeg forstår de 3 linjer hvor der står:

Dc = en matrix = en skalar

DL1 = en matrix = en skalar

Dlambda = en matrix = en skalar

Hvis det er Cramer's regel, så må det være:

Dc = det(1. kolonne i systemmatricen erstattet med højresiden) / det(hele matricen)

DL1 = det(2. kolonne i systemmatricen erstattet med højresiden) / det(hele matricen)

osv

Brugbart svar (0)

Svar #11
22. april 2014 af jnl123

okay tror bare det er fordi der ikke står 'det' foran matricerne at jeg ikke kunne se det :)

Du kan ikke isolere dS fra 3. ligning måske?

Svar #12
22. april 2014 af nstella (Slettet)

ok, sorry - jeg er ikke selv sikker på at jeg forstår.

Fandt en youtube video, der virkede troværdig og som en smutvej, der forklarede hvordan cramers regel kunne benyttes. https://www.youtube.com/watch?v=taBHTo8sviM

jeg prøver lige at regne igen, uden youtube

men i mellemtiden, må jeg lige spørge, altså i #6, kan jeg godt se at det er det samme udtryk, som i #3.,men nu hvor jeg er i gang med en anden 4x4 matrice (vedhæftet), og selv skal opstille en matrix ligesom i #6, kommer jeg i tvivl

Vedhæftet fil:ligning 2.docx

Svar #13
22. april 2014 af nstella (Slettet)

ps. Tusind tak, det er virkelig rart at der nogen der gider at hjælpe!! det er værdsat.

Brugbart svar (0)

Svar #14
22. april 2014 af jnl123

Tror du har regnet determinanterne ud rigtigt i #9 - jeg får det samme i hvertfald :)

Det ender så op med:

$dL_1=d \bar{S} \left( \frac{\partial ^2 U}{\partial^2 C} w^2 - \frac{\partial ^2 U}{\partial C \partial L_1} Pw \right )$

som minder meget om hvad det skal være. Hvordan vi kommer fra dL1 til dL1/dS er jeg ikke sikker på

Brugbart svar (0)

Svar #15
22. april 2014 af jnl123

Eksempel med 2 ligninger/2 ubekendte:

$a\cdot x_1 + b\cdot x_2 = K1$

$c\cdot x_1 + d\cdot x_2 = K2$

Koefficienterne (a,b og c,d) går vandret i hver række af system-matricen. De ubekendte (x1 og x2) og højresiden (K1 og K2) går lodret

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} K_1\\ K_2 \end{pmatrix}$

Svar #16
22. april 2014 af nstella (Slettet)

aham eller, jeg tror et er aha. Hvis det jeg har opstillet for min 4x4 ligning er korrekt.

og som jeg så kan løse på samme måde som en 3x3, formoder jeg? med "determinantmetoden", men nu hvor der er en ekstra række. Dn virker dog lige lovlig tidskrævende, så har jeg mon opstilet det forkert?

tak

Vedhæftet fil:eq2.docx

Brugbart svar (0)

Svar #17
22. april 2014 af Andersen11 (Slettet)

#16

Der er ikke konsistens mellem de enkeltstående ligninger og matrixformen (ikke matriceform).

I den f8rste ligning har du et led -cdp , der nok sla være -cdλ ?

I 4. ligning har du en variabel dS₂, der ikke figurerer i de øvrige ligninger.

Rækkefølgen af de ubekendte dC, dL₁, dL₂, dλ varierer i de enkeltstående ligninger, men det er tilsyneladende ignoreret ved opskrivning af matrixsystemet. Der er tilsyneladende gået helt kludder i det.

Brugbart svar (0)

Svar #18
23. april 2014 af jnl123

ja husk rækkefølgen af de ubekendte :) Så L1 (osv.) står under hinanden i hver linje af ligningssystemet - inden du skriver op på matrixform

Svar #19
23. april 2014 af nstella (Slettet)

hej, tak

ok ja der er lige et par smuttere, sorry.

har nu rettet cdp

i ligning 4 skal den nye variabel ds2 være der:)

og nu fået skrevet rækkefølgende forhåbentlig mere korrekt.

tak

Vedhæftet fil:model 2 studieportalen.docx

Brugbart svar (0)

Svar #20
23. april 2014 af jnl123

og nej det er i øvrigt ikke særlig sjovt at regne determinanter på 4x4 matricer. Jeg ville nok bruge et program som Maple eller lign. til at regne løsningen til lignigns-systemet

Forrige 1 2 3 Næste

Der er 48 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.