parabel

Du har 3 punkter på parablen og det er nok til at bestemme funktionsforskriften. Hvis r1 og r2 er rødderne er funktionsforskriften y=a(x-r1)(x-r2) Desuden går grafen gennem punktet (2, 4). Indsætter du det får du en ligning til bestemmelse af a.

Hvis du kun skal bruge figuren til at finde f'(2) kan du afsætte tangenten i punktet. Hældningen af tangenten er f'(2)

Tal skal du have Lind, men hvor kan jeg finde denne formel du nævner: y=a(x-r1)(x-r2) ?

Hvornår gælder denne formel? Den ligner nemlig ikke formlen for eksponentielle, potentielle eller lineære funktioner?

Du kan direkte sætte en rod ind i funktionsudtrykket for eks. r1  Det giver y=a*(r1-r1)(r1-r2) =a*0*(r1-r2) = 0

Den gælder for alle polynomier, du kender rødderne for

Jeg er ikke fuldstændig med, må jeg indrømme..

Formlen for en parabel er y = ax + bx +c

Jeg har nu formlen: y = a(x-r1)(x-r2)

Jeg indsætter nu mine rødder på x's plads. Hvilke indsætter jeg hvor?

Hvad står r1 og r2 for?

r1 og r2 står for rødderne. Din funktion bliver a(x-(-2))(x-4) = a(x+2)(x-4)

Hvad skal jeg så indsætte på x's plads?

Du skal indsætte x=2 for at finde a
 

Når, altså x-værdien til punktet?

Men kan jeg ikke bruge et hvilket som helst punkt, så længde den er på parablen? Ville det give samme facit?

4 = a(2-(-2))(2-4)

4 = a(2)(-2)

4/(-4) = a

a = -1

Er det forkert?

Hvordan beregner jeg så b?

Det er forkert a(2-(-2)(2-4) = a*(2+2)(-2) = -8a= 4

Når du har fundet a har du også fundet polynomiet f(x) for parablen. Du skal så finde f'(x) og deraf f'(2)

Min lommeregner siger, at -2*a(4) = 4

Men jeg kan ikke se, hvad den tænkte?

Jamen, nu har jeg jo kun a? Hvad med b og c?

Hvordan kan jeg deffirentiere den, når jeg ikke kender b og x?

Du har nu hele funktionen f(x) = -½(x+2)(x-4)  så du kan gå videre. Hvis du vil have funktionen på standartform skal du bare gange faktorene sammen

Da -2 og 4 er rødder, har polynomiet forskriften

        f(x) = a·(x+2)·(x-4) .

Desuden vides det, at f(2) = 4 . Man har nu

        f '(x) = a·(x-4 + x+2) = a·(2x - 2) , så

        f '(2) = a·(2·2 - 2) = 2a .

Da f(2) = 4, er a·(2+2)·(2-4) = 4 , dvs -8a = 4 , hvoraf 2a = f '(2) = -1 .