Matematik

Integration

11. maj 2014 af Haxxeren - Niveau: Universitet/Videregående

Hej,

Jeg skal have integreret følgende:

_-2∫²(3√(4-t²) + 3t²(4-t²)^-1/2) dt

Jeg har prøvet forskellige substitutionsmetoder uden held. Er der nogen, der kan hjælpe?

Tak på forhånd.

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. maj 2014 af Drunkmunky (Slettet)

Du har, at 3√(4-t2) + 3t2 (4-t2)-1/2 kan skrives om til formen 12/√(4-t^2) (det får du ved, at gange alle led med √(4-t^2)).

Altså skal vi finde _^-2∫²12/√(4-t^2) dt. Vi har da

∫12/√(4-t^2) dt=12*1/2∫1/√1-t^2/4)dt. Lad da u=t/2, og du har 12∫1/√(1-u^2)du=12sin^-1(u)=12sin^-1(t/2).

Resten burde være trivielt

Svar #2
11. maj 2014 af Haxxeren

Det ser lidt rodet ud synes jeg. Kan ikke helt gennemskue det.

Brugbart svar (0)

Svar #3
11. maj 2014 af mathon

sæt
$t=2\cdot \sin(\theta )\; \Leftrightarrow {\color{Red} \theta =\sin^{-1}\left ( \frac{t}{2} \right )}$

hvoraf ved differentiation mht t:

$1=2\cdot \cos(\theta )\cdot \frac{\mathrm{d} \theta }{\mathrm{d} t}$

$\frac{\mathrm{d} \theta }{\mathrm{d} t}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{1-\sin^2(\theta )}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{1-\left ( \frac{t}{2} \right )^2}}=\frac{1}{\sqrt{4-t^2}}$

hvoraf

${\color{Red} d\theta =\frac{1}{\sqrt{4-t^2}}dt}$

$\int_{-2}^{2}\left ( 3\cdot \sqrt{4-t^2} \right +3t^2\cdot \left ( 4-t^2 \right )^{-\frac{1}{2}})dt=\int_{-2}^{2}\left ( 3\cdot \frac{\left (4-t^2 \right ) }{\sqrt{4-t^2}} +\frac{3t^2}{\sqrt{4-t^2}}\right)dt=$

$\int_{-2}^{2}\frac{12}{\sqrt{4-t^2}}dt=\int_{-2}^{2}12\cdot \frac{1}{\sqrt{4-t^2}}dt=12\cdot \int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}d\theta =12\cdot \left [ \theta \right ]_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}=$

$12\cdot \left ( \frac{\pi }{2}-\left ( -\frac{\pi }{2} \right ) \right )=12\pi$

Svar #4
11. maj 2014 af Haxxeren

Hvordan gik du fra 3·√(4 - t²) til 3·(4-t²)/√(4 - t²) i tredje sidste linje?

Brugbart svar (0)

Svar #5
11. maj 2014 af mathon

$\!\! \3\cdot \frac{\left (4-t^2 \right ) }{\sqrt{4-t^2}} +\frac{3t^2}{\sqrt{4-t^2}}= \frac{\left 3\cdot(4-t^2 \right ) }{\sqrt{4-t^2}} +\frac{3t^2}{\sqrt{4-t^2}}=\frac{12-3t^2+3t^2}{\sqrt{4-t^2}}=\frac{12}{\sqrt{4-t^2}}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
11. maj 2014 af mathon

$\sqrt{4-t^2}=\frac{\sqrt{4-t^2}}{1}=\frac{\sqrt{4-t^2}\cdot \sqrt{4-t^2}}{\sqrt{4-t^2}}=\frac{\left (\sqrt{4-t^2} \right )^2}{\sqrt{4-t^2}}=\frac{4-t^2}{\sqrt{4-t^2}}$

overalt: $t\neq -2$ $t\neq 2$

Svar #7
12. maj 2014 af Haxxeren

God forklaring, tak.

Skriv et svar til: Integration

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.