Konvergens af funktionsfølge

g(x) er kontinuert og har derfor for ethvert x en endelig værdi. Se på hvad der sker med g(x)/n for er givet x for n->∞

Okay, tak! Det må jo gå mod nul, dvs. f_n går mod sin(x)?

ja

Hvordan får man så dette skrevet som en grænsefunktion? På forhånd tak :)

Skriv som angivet at en konstant/n går mod 0 for n gående mod uendelig og brug derefter reglen om kontinuitet af sammensatte funktioner

Jamen, skal grænsefunktionen ikke skrives som en gaffelfunktion. 

Jeg ved selvfølgelig, at for f(x)=sin(x) gælder, at når x=0 så er f(x)=0, men hvilke x kan man ellers se på? :)

Det bliver jo ikke en gaffelfunktion

Det gælder for alle x. Det er faktisk væsentlig, når man taler om punktvis konvergente funktioner

ahh tak, så det at den konvergerer mod en funktion, er nok til at se at den er punktvis konvergent? 

ja

Er nogen, der kan hjælpe med dette spørgsmål, som hører til det ovenstående? :)

Udnyt |sin(y) - sin(x)| ≤ |y - x|   til at vise at konvergensen (som vi har fundet i ovenstående) er uniform på ethvert lukket interval.

Der gælder

|fn(x)-f(x)| = |sin(x+g(x)/n)-sin(x)|≤ |x+g(x)/n -x| = |g(x)|/n

Tak! :)

Jeg har lært at finde uniform konvergens ved:  d_A(f,f_n) = 0 for  n → ∞ for f og f_n defineret på A.  

Mit spørgsmål er om man skal lade n gå mod uendelig og vise, at så går |g(x)|/n mod 0. Jeg har lidt svært ved at komme frem konklusionen bl.a. at det skal være for ethvert lukket interval. 

På ethvert lukket interval har g(x) en størsteværdi M fordi g(x) er kontinuert. Den sidste linje i #11 kan derfor fortsættes  ≤ M/n

I forbindelse med dette:

Lad a,b∈R med a<b. Vis at talfølgen:

er konvergent for n gående mod uendelig og bestem grænseværdien. 

Jeg ved at  konvergerer uniformt på ethvert lukket og begrænset interval. 

Er der nogen, der kan give mig et hint?

#14

Da funktionsfølgen {f_n} konvergerer uniformt mod f , vil I_n konvergere mod _a∫^b f(x) dx .

Grænseværdien er ∫_a^b sin(x)dx    se på | ∫_a^b sin(x+g(x)/n) -sin(x)  dx|

#16

Hvordan kan jeg bruge det?

|fn(x)-f(x)| = | ∫_a^b sin(x+g(x)/n) -sin(x)  dx| ≤  ∫_a^b |sin(x+g(x)/n) -sin(x)|  dx ≤  ∫_a^b |(x+g(x)/n -sin(x)|  dx

Du kan evt. stoppe lige inden det sidste led og bruge at funktionsfølgen er uniform konvergent eller du kan bruge #11 på det følgende

Hvis man benytter, at funktionsfølgen er uniform konvergent, er det så overhovedet nødvendigt at skrive ovenstående op? Hvis vi har ∫_a^b sin(x+g(x)/n) -sin(x)  dx  og vi ved, at funktionsfølgen konvergerer uniformt mod sin(x) må talfølgen I_n  nødvendigvis være konvergent med grænseværdi  ∫_a^b sin(x). Eller skal man vise det ved "udregning" ? 

Du er nød til at tage de to første led med (til og med det første ulighedstegn) Først derefter kan du bruge at den er uniform konvergent. Det er ikke svært at gætte på resultatet men det skal altså også bevises.