Side 2 - Konvergens af funktionsfølge

Tak :) Men er det derefter nok at forklare det eller skal det skrives som en forlængelse af udtrykket i #18 ?

Du kan gøre begge dele; men der skal noget forklaring til i begge tilfælde. Generelt skal du bruge at indmaden kan du gøre lige så lille som du vil. Hvis du kalder den største værdi af indmaden for et given n for M_n vil der gælde at integralet højst bliver |b-a|*M_n

Ja, men er den største værdi, så M_n = sin(X), eller kan jeg ikke helt se, hvordan man kommer frem til det ønskede. 

Den største værdi er ikke sin(x) Det væsentlige er at den eksisterer hvad den præcise værdi er kender vi ikke.

Jamen hvordan går man fra, at integralet højst er |b-a|*M_n  til at grænseværdien er integralet fra a til b af sin(x)?

Du har vist tabt overblikket. For at skrive det kort uden de mellemregninger i det forrige men til gengæld noget grundlæggende om grænseværdier

Du skal til ethver ε>0 kunne finde et N så for n>N gælder

|∫_a^bf_n(x)dx-∫_a^bf(x)dx| ≤ ∫_a^b|M_n|dx = |b-a|*M_n ≤ ε

Du ved at M_n -> 0 for n->∞  så du kan finde et N for hvilket det gælder at n>N =>M_n ≤ ε/|b-a|  disse værdier af n vil så medfører at uligheden du skulle vise holder

Du har helt ret, men jeg håber jeg er med nu. :)

Når man netop kan vise at uligheden holder, så er det vel ensbetydende med, at ∫_a^bf  er grænseværdi for ∫_a^bf_n. Jeg havde ikke helt forstået, at det var et krav, at kunne vise ovenstående for at udlede grænseværdien. 

Opgaven gik ud på:

a) Vise at talfølgen er konvergent.

b) finde grænseværdien

Grænseværdien er det ikke svært at gætte sig til. Det er spørgsmål a) der giver problemet. Ved løsning af a) får du samtidig så bevist at ens gæt er rigtig

Ja,  mange tak, det var det jeg havde misforstået :) Men vil du mene, at det er nok at vise, at talfølgen er konvergent på den mere "generelle" måde som i #26?

Det i #26 er nok

Hvordan kan man argumenterer for at denne ulighed gælder ?

|sin(y) - sin(x)| ≤ |y - x|   

Kan man bruge middelværdisætningen?

Hvordan har i brugt middelværdisætningen til at argumentere for at det gælder? Snakker om #31 :)

Husk at den afledede af sin(x) er cos(x) og at der for cos(x) gælder, at: |cos(x)| ≤ 1. 

#35 kan ikke lige se hvordan du får dette inkorporeret i middelværdisætningen?

Altså middelværdisætningen er: f '(c) = (f(b)-f(a)) / (b-a)

#36

Antag, at x < y og betragt så funktionen sin() på intervallet [x;y] . Da funktionen sin() er differentiabel, findes der derfor et ξ ∈ ]x;y[ , så at

        cos(ξ) = (sin(y) - sin(x)) / (y-x) .

Tag nu den numeriske værdi på hver side, og udnyt, at |cos(ξ)| ≤ 1 til at nå til

        |sin(y) - sin(x)| ≤ |y - x|