Matematik

Gøre prøve

05. juni 2014 af Kotoko (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej

Hvordan viser jeg ved at gøre prøve, at

y(x)=e^-A(x)*∫(bx*e^A(x))dx+ce^-A(x)

er en løsning til

y'+a(x)y=b(x)

Jeg har prøvet adskillige gange, men er går i stå allerede ved at differentiere y(x), som jo skal indsættes i y'+a(x)y og være lig med b(x).

Brugbart svar (1)

Svar #1
05. juni 2014 af Heptan

Brugbart svar (1)

Svar #2
05. juni 2014 af Heptan

Brugbart svar (1)

Svar #3
05. juni 2014 af mathon

$y(x)=e^{-A(x)}\cdot \int \left (b(x)\cdot e^{A(x)} \right )dx+c\cdot e^{-A(x)}$

$\! \! \! \! \!\! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! y{\, }'(x)=e^{-A(x)}\cdot \left (-a(x) \right )\cdot \int \left ( b(x)\cdot e^{A(x)} \right )dx+e^{-A(x))}\cdot b(x)\cdot e^{A(x)}+ce^{-A(x)}\cdot \left (-a(x) \right )=$

$\! \! \! \! \!\! \! \! \! y{\, }'(x)=-a(x)\left (e^{-A(x)} \int \left ( b(x)\cdot e^{A(x)}} \right )dx}+ce^{-A(x)} \right )+ b(x)$

$y{\, }'(x)=-a(x)\left ({\color{Red} e^{-A(x)} \int \left ( b(x)\cdot e^{A(x)} \right )dx+ce^{-A(x)}} \right )+ b(x)$

$y{\, }'(x)=-a(x)\cdot y+ b(x)$

$y{\, }'(x)+a(x)\cdot y= b(x)$

Svar #4
05. juni 2014 af Kotoko (Slettet)

Tusind tak for hjælpen begge to. Det hjalp rigtig meget, især med alt det pædagogiske undervejs. Mange gange tak! :-)

Svar #5
05. juni 2014 af Kotoko (Slettet)

Hov. Jeg er lidt forvirret.

Når i differentierer e^-A(x) får Mathon e^-A(x)*(-a(x))

mens heptan får e^-A(x)*(-a(x))?

Jeg forstår heller ikke umiddelbart hvordan i kommer frem til det sidste :(

(de sidste fire linjer i Mathons indlæg) eller #2.

Brugbart svar (0)

Svar #6
05. juni 2014 af Heptan

#5 Er e^-A(x)*(-a(x)) og e^-A(x)*(-a(x)) ikke det samme? ;-)

I #2 indsætter jeg y(x) på y's plads i dif. ligningen. Men først isolerer jeg y', så den står på venstre side. I allersidste linje ganger jeg -a(x) ind i parentesen på begge led.

Brugbart svar (0)

Svar #7
05. juni 2014 af Heptan

d/dx(A(x)) er det samme som A'(x) som er det samme som a(x), da A(x) er en stamfunktion til a(x)

Svar #8
05. juni 2014 af Kotoko (Slettet)

Undskyld, jeg mente, at du fik e^-A(x)*(a(x))

Jeg prøver lige at kigge det igennem igen. Puuha :)

Brugbart svar (0)

Svar #9
05. juni 2014 af Heptan

#8 Jeg tror at jeg i stedet for

e^-A(x)*(-a(x))

har skrevet:

- e^-A(x)*(a(x))

da det giver bedre mening i forholdet til reglen for sammensatte funktioner

Svar #10
05. juni 2014 af Kotoko (Slettet)

Efter en times leg med sætningen er jeg endelig i stand til både at gøre prøve og at vise at en løsning y(x) er på formen som angivet i #0.

Tak for hjælpen, de brugbare kommentarer og tålmodigheden, #9 :))))))

Skriv et svar til: Gøre prøve

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.