Matematik

Injektivitet

17. juni 2014 af YesMe (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Lad f(x,y) = (cos(x) - ysin(x) , sin(x) + ycos(x), x + y) : R² → R³. Er der en nem måde at vise om den er injektiv? Jeg ønsker at vise, at f(x₁, y₁) = f(x₂, y₂) ⇒ (x₁, y₁) = (x₂, y₂). Lad os kalde (a₁, a₂) = (cos(x₁), cos(x₂)) og (b₁, b₂) = (sin(x₁), sin(x₂)), så har vi nu følgende

(a₁ - y₁b₁, b₁ + y₁a₁, x₁ + y₁) = (a₂ - y₂b₂, b₂ + y₂a₂, x₂ + y₂).

Hvis jeg kigger på de to første koordinater: læg de to sammen og træk fra - hver for sig, så får jeg svært ved at løse to ligninger med to ubekendte således at jeg opnår (x₁, y₁) = (x₂, y₂). Det er fordi, at det ville fylde for meget.

Brugbart svar (1)

Svar #1
17. juni 2014 af Andersen11 (Slettet)

Sætter vi

a = cos(x) - y·sin(x) , b = sin(x) + y·cos(x) , c = x+y ,

har vi

$\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos x & -\sin x\\ \sin x& \cos x \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\ y \end{pmatrix}$

og dermed

$\begin{pmatrix} 1\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos x & \sin x\\ -\sin x& \cos x \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\ b\end{pmatrix}$ .

Der gælder altså

a·cos(x) + b·sin(x) = 1 , og

-a·sin(x) + b·cos(x) = y .

Det er klart, at der må gælde (a,b) ≠ (0,0) , og vi kan derfor definere λ så at

cos(λ) = a/√(a²+b²) og sin(λ) = b/√(a²+b²) ,

hvorved vi får

cos(x-λ) = 1/√(a²+b²) .

Desuden er

1² + y² = a² + b² ,

så

y² = a² + b² - 1 .

Sammen med x+y = c må det kunne lægge begrænsninger på antallet af mulige løsninger.

Brugbart svar (1)

Svar #2
17. juni 2014 af Andersen11 (Slettet)

(Fortsat fra #1)

-a·sin(x) + b·cos(x) = y

ser vi, at

y = (-cos(λ)·sin(x) + sin(λ)·cos(x))·√(a²+b²)

= sin(λ-x) / cos(x-λ)

= tan(λ-x) .

Løsningerne til systemet

a = cos(x) - y·sin(x) , b = sin(x) + y·cos(x) , c = x+y

skal altså søges blandt skæringspunkterne mellem graferne for

y = tan(λ-x) og y = -x + c

der også opfylder

y² = a² + b² - 1 ,

hvor λ er bestemt (mod 2π) ved

cos(λ) = a/√(a²+b²) og sin(λ) = b/√(a²+b²) .

Skriv et svar til: Injektivitet

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.