Matematik

Funktionsforskrift af parabel

12. august 2014 af wutwutwutwut (Slettet) - Niveau: C-niveau

Jeg ved, at toppunktet er (3,2) samt skæringspunktet med y-aksen er (0,5).

Nogen der kan hjælpe mig i gang?

Brugbart svar (0)

Svar #1
12. august 2014 af Andersen11 (Slettet)

For 2.-gradspolynomiet f(x) = ax² + bx + c har man

toppunktet (x_T , y_T) = (-b/(2a) , -d/(4a)) , hvor d = b² - 4ac ,

f(0) = c .

Ved at indsætte de givne oplysninger, opnår man 3 ligninger til bestemmelse af a, b og c.

Alternativt kan man benytte toppunktsformen for 2.-gradspolynomiet:

y - y_T = a·(x - x_T)² .

Her kender man x_T og y_T og kan så benytte oplysningen om f(0) til at bestemme a .

Svar #2
12. august 2014 af wutwutwutwut (Slettet)

Jeg beklager min inkompetence, men er d ikke en udefineret variabel?

Brugbart svar (1)

Svar #3
12. august 2014 af Andersen11 (Slettet)

Den er jo udtrykt ved a, b og c, som man opstiller ligninger for.

Fremgangsmåden skitseret i de tre sidste linier i #1 er dog simplere at benytte. Her er der blot 1 ligning i den ubekendte a .

Da (x_T,y_T) = (3,2) , har man forskriften for 2.-gradspolynomiet

y = f(x) = y_T + a·(x - x_T)² = 2 + a·(x - 3)² ,

og oplysningen f(0) = 5 giver da ligningen til bestemmelse af a:

5 = 2 + a·(0-3)² ,

dvs.

a = 1/3 .

Svar #4
12. august 2014 af wutwutwutwut (Slettet)

Jeg takker utrolig meget. 10000% brugbart.

Brugbart svar (0)

Svar #5
12. august 2014 af mathon

til bestemmelse af a:

$\frac{-d}{4a}=\frac{4ac-b^2}{4a}=c-a\cdot \left ( \frac{-b}{2a} \right )^2=2$

$5-a\cdot 3^2=2$

til bestemmelse af b:
$\frac{-b}{2a}=3$ når a er bestemt

Brugbart svar (0)

Svar #6
13. august 2014 af Soeffi

Noget gik galt med formlerne, jeg må prøve igen...

Brugbart svar (0)

Svar #7
13. august 2014 af mathon

til bestemmelse af a:

$\frac{-d}{4a}=\frac{4ac-b^2}{4a}=c-a\cdot \left ( \frac{-b}{2a} \right )^2=2$

$5-a\cdot 3^2=2$

3=9a
$a=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$

til bestemmelse af b:
                                        $\frac{-b}{2a}=3$
                                         $-b=6a=6\cdot \frac{1}{3}=2$
                                         b=-2

$f(x)=\frac{1}{3}x^2-2x+5$

Brugbart svar (0)

Svar #8
13. august 2014 af Andersen11 (Slettet)

Eller, i fortsættelse af #3 hvor a = (1/3) blev beregnet, finder man så, at forskriften er

y = 2 + (1/3)·(x-3)²

= 2 + (1/3)·x² - 2·3·(1/3)·x + (1/3)·(-3)²

= (1/3)·x² - 2·x + 5,

hvoraf man aflæser a, b og c .

Brugbart svar (0)

Svar #9
13. august 2014 af Soeffi

Løsning ved symmetri betragtning.

Da parablen er symmetrisk omkring en lodret linje gennem toppunktet, gælder at y-værdien for den dobbelte værdi af x-værdien i toppunktet er lig y-værdien for x=0. Man får tre ligninger med tre ubekendte:

f(0) = 5, f(3) = 2, f(6) = 5

Heraf fås:

a0² + b0 + c = 5, a3²+ b3 + c = 2, a6² + b6 + c = 5

som giver

c = 5, a = - (b + 1)/3, 6²( - (b + 1)/3) + b6 + 5 = 5

som giver

c = 5, b = - 2, a = 1/3

Dette giver polynomiet

f(x) = 1/3 - 2x + 5

Skriv et svar til: Funktionsforskrift af parabel

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.