Isolering af x i en opgave med en taperulle!

                      en andengradsligning i n

Det ligner en opgave med hjælpemidler, som du passende kan løse med et CAS-værktøj. 

# 1
Koefficienten til n skal være  (50 - 0,1)·π

#3: Ligningen i #1 er korrekt. Det er en korrekt omskrivning af den oprindelige ligning.

#0: Det er, som du nævner, kun den positive rod, der er løsning til problemet.

Der er med meget stor sandsynlighed tale om Opg. 11 i dette eksamenssæt

http://www.uvm.dk/~/media/UVM/Filer/Udd/Gym/PDF13/131206%20MatA-stx-06122013.ashx

Længden af tape på rullen som funktion af antallet n af viklinger tape på rullen er givet ved

        L(n) = π·d·n² + 2·π·r₀·n

hvor d er tykkelsen af tapen og r₀ er radius af den tomme rulle. I spm b) skal man bestemme n for en rulle tape med d = 0,1 mm , r₀ = 25 mm, hvor den samlede længde af tapen er L = 50000 mm , og man skal der løse ligningen

        50000 = 0,1·π·n² + 50·π·n

som en 2.-gradsligning i n, hvor man som nævnt i #4 begrænser sig til den positive rod.

Formlen i # 0 for den udrullede tapes længde er ikke korrekt.
Man kan hurtigt se det ved at prøve at indsætte n = 1, nemlig den første omvikling af den tomme spole.
Iflg. formlen skulle tapen ha' en længde på    ...........................................................       π·(d + 2·r₀)
Måles i forhold til tapens underside, med klisteret på, fås omkredsen af første vinding   2·π·r₀  ,
måles i forhold til tapens overside fås omkredsen af første vinding    ......................        2·π·(d + r₀)
Ligningen, m.h.t. tapens underside, er da som anført i # 1 med den korrektion som nævnt i # 3.
Det skal så understreges, at forskellen i den udrullede tape  er godt og vel 23 cm, når man tager hensyn til, om det er over- eller undersiden af tapen, der ligger til grund.


 

Formlen for L(n) i #5 er korrekt med god nøjagtighed, hvis vi bruger midten af tapens tykkelse som måler for beregningen af tapens længde.

Den første vinding vil have en gennemsnitlig radius på r₀ + (d/2) med en længde 2π·(r₀ + (d/2)) .

Vinding nr 2 vil have en radius på r₀ + (d/2) + d, med en længde 2π·(r₀ + (d/2) + d) .

Vinding nr k vil have en radius på r₀ + (d/2) + (k-1)·d med en længde 2π·(r₀ + (d/2) + (k-1)·d) .

Den samlede længde af n vindinger er da

        L(n) = ∑ⁿ_k=1 2π·(r₀ + (d/2) + (k-1)·d)

              = n·2π·(r₀ + (d/2)) + 2π·d·∑ⁿ_k=1 (k-1)

              = n·2π·(r₀ + (d/2)) + 2π·d·(n-1)·n/2

              = 2π·r₀·n + π·d·n² .

Med tapens underside:   (slet  " - λ = 0 "  til sidst)

Det er vel så ikke overraskende, at det i opgaven benyttede udtryk for L(n) netop er gennemsnittet af udtrykket, der fås ved at benytte tapens inderside:

        L_inderside(n) = 2π·r₀·n - π·d·n + π·d·n²

og udtrykket, der fås ved at benytte tapens yderside:

        L_yderside(n) = 2π·r₀·n + π·d·n + π·d·n² ,

dvs.

        L(n) = (1/2)·(L_inderside(n) + L_yderside(n)) = 2π·r₀·n + π·d·n² .