Surjektiv

Vis, at der for ethvert reelt tal y ≥ 0 findes reelle tal x₁ , x₂ , x₃ , så at

        x₁² + x₂² + x₃² = y .

Dette viser, at funktionen er surjektiv.

At funktionen ikke er injektiv følger af, at der for ethvert reelt tal x gælder, at x² = (-x)² .

For at vise, at f er surjektiv, skal du vise at for alle y in [0,∞) findes et x i R³ så y=f(x). Bemærk først, at x² altid er positiv, thi x ligger i R. Så hvis vi definerer f_¹:R->[0,∞) ser vi, at  denne funktion vil kunne ramme alle punkter i billedmængden, altså er f₁ surjektiv. Fra dette fås, at f((x₁,x₂,x₃))=x₁²+x₂²+x₃² er surjektiv, da vi for alle x₁ kan sætte 0=x₂=x₃, og vi har så f((x₁,0,0))=x₁², som er defineret på samme måde som f₁, og må altså være surjektiv.

At f ikke er injektiv ses let, thi kvadratroden af et negativt tal altid er positivt, og man kan derfor ikke se hvilket fortegn de forskellige tal har, og dermed kan man ikke bestemme x ud fra f(x).

#2

Der gælder, at x² altid er ikke-negativ, når x er i R.