Matematik

Differentialligningssystemer

15. september 2014 af lufthansa (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg har følgende:

$\binom{\dot{x_{1}}}{\dot{x_{2}}} = \begin{pmatrix} 5 & 3\\ 9 & -1 \end{pmatrix}*\binom{x_{1}}{x_{2}}$

Jeg har fundet fundalmentalmatricen ved at finde egenværdier og egenvektorer.

$\phi (t) = \begin{pmatrix} -\frac{1}{3}e^{-4t} & e^{8t}\\ e^{-4t} & e^{8t} \end{pmatrix}$

Denne skal bruges senere til den fuldstændige løsning.

Så adderes følgende til differentialligningssystemet fra starten $e^{4t}\binom{3}{-5}$ så det bliver en inhomogen ligning.

Så skal jeg finde den fuldstændige løsning. Hvordan går jeg det ? Jeg tænkte på noget med at gætte på en løsning, men jeg ved ikke hvordan og hvor jeg skal indsætte f.eks Ae^4t

Lidt hjælp !!!!

Brugbart svar (0)

Svar #1
15. september 2014 af peter lind

Du skal gætte på en ligning af formen (x₁, x₂) = e^4t(a, b) Indsæt dette i differentialligningen. Det giver en ligning til bestemmelse af a og b

Svar #2
15. september 2014 af lufthansa (Slettet)

Men mit problem er hvordan jeg gør det. Jeg har brug for et eksempel og min lærebog indeholder desværre ikke et sådan :o(

Brugbart svar (0)

Svar #3
15. september 2014 af peter lind

Du indsætter det pågældende gæt i differentialligningen. I den første del får du

(a*e^4t)' = 5*x₁+3*x₂ = 5*a*e^4t +3*b*e^4t

Skriv selv den anden ligning op

Det bemærkes at e^4t kan forkortes ud

Svar #4
15. september 2014 af lufthansa (Slettet)

så den første bliver til (med e^4t forkortet væk) 4a=5a+3b <=> a = -3b

og den anden bliver til 4b=9a-b <=> b = 9/5a

Hvad gør jeg så ? Indsætter jeg b = 9/5a i den øverste eller ?

Jeg har fået svaret udleveret og vektoren skal gerne bliver (0 -1)e^4t

Brugbart svar (0)

Svar #5
15. september 2014 af peter lind

På venstre side i anden linje skal der ikke stå b

Jeg glemte desværre det inhomogene led #3

Det skulle være (a*e^4t)' = 5*x₁+3*x₂ +3e^4t= 5*a*e^4t +3*b*e4t +3e^4t

Svar #6
15. september 2014 af lufthansa (Slettet)

Forstår desværre ikke hvordan jeg kommer fra til løsningen

Brugbart svar (0)

Svar #7
15. september 2014 af peter lind

Du kunne da løse den forkerte ligning i #3 Nu er der bare kommet et ekstra led på, som jeg desværre havde glemt.

Den ligning, du selv stillede op havde du også rigtig. (min påstand om at b ikke skulle være der er en anden fejl af mig)

Du har dermed 2 ligninger med 2 ubekendte, som du skal løse.

så hvad er problemet ?

Svar #8
15. september 2014 af lufthansa (Slettet)

Har løst den.

Skal først inverterer fundalmentalmatricen. Derefter multiplicerer den med u(t) leddet.

Derefter skal hver vektor integreres for sig, og denne nye vektor skal multipliceres med den oprindelige

fundamentalmatrix. Så fremkommer den korrekte løsning.

( 0 1 )e^4t

Brugbart svar (0)

Svar #9
15. september 2014 af peter lind

Det er en urimelig kompliceret metode til at finde løsningerne til to ligninger med 2 ubekendte

Alternativer.

1. Isoler den ene ubekendt i en af ligningerne og sæt resultatet ind i den anden

2. Lige store koefficienters metode. Gang ligningerne med en faktor så kooefficienterne til en af de ubekendte er ens. Træk dem derefter fra hinanden.

Skriv et svar til: Differentialligningssystemer

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.