HJælp søges..DIFFERENTIALLIGNINGER

301. Man undersøger om en forelagt funktione er en løsning til en differentialligning ved at indsætte funktionen i differentialligningen. Hvis funktionen er en løsning, vil de to sider i differentialligningen være identisk lig med hinanden.

302. Indsæt en lineær funktion f(x) = ax + b i differentialligningen  y' = 3x - 2y , og bestem a og b , så at f(x) er en løsning.

Kan du vise et eks. i opg. 301 ? evt. opgave a. 

#2

I 301 a) er differentialligningen       y = x·y' - x²   og man skal undersøge om funktionen  f(x) = x² - 3x  er en løsning. man skal altså undersøge om

        f(x) =? x·f '(x) - x² ,

altså om     x² - 3x  er lig med  x·(x² - 3x)' - x² . Differentier (x² - 3x) og udregn højresiden, og undersøg om funktioneudtrykket er lig med  x² - 3x .    Altså

         x·y' - x² = x·f '(x) - x² = x·(2x -3) -x² = 2x² - 3x -x² = x² - 3x = f(x) = y .

Okay tak, giver bedre mening nu. 

Er facit så bare: ja ? 

#5

Da de to sider af differentialligningen ved indsættelse af f(x) er identiske, er f(x) en løsning til differentialligningen.

ja okay. Kan det passe at i b) så er det: nej ? 

#7

Hvis de to sider af differentialligningen ikke er identisk lig med hinanden, er funktionen ikke en løsning.

Mener ikke at funktionen er en løsning. 

#9

Du kan jo vise de mellemregninger, hvorpå du drager din konklusion.

opg. 302 --> er nedenstående korrekt ?  

a = 3x-2(ax+b) eller 

a = 3x -2ax -2b, 
hvis 

(3x - 2ax) - 2b skal være en konstant a, kunne man forestille sig, 
at 
3x - 2ax = 0, hvoraf  

3 = 2a 

a = 3/2, 
hvoraf 

a = 3/2 = -2b 
og 
b = -(3/4) 
hvilket efterprøves: 

y = ax + b = (3/2)x-(3/4) 

y' = (3/2) 

3x-2y = 3x-2((3/2)x-(3/4)) = 3x-3x+2*(3/4) = (3/2) 

y = (3/2)x-(3/4) er således en løsning --> er dette korrekt ? 

#11

Ja, det er korrekt.   Polynomiet   (3-2a)x - 2b-a   skal være identisk lig med nulpolynomiet, så koefficienterne må være lig med 0, dvs

        3-2a = 0     og   -2b -a = 0 .