Convolution (Laplace)

Man har, at   e^-s/s er    Laplacetranformationen af u(t-1) , mens 1/(s²+4) er Laplacetransformationen af
(1/2)·sin(2t) . Så er ifølge foldningsteoremet

        y(t) = ₀∫^t u(t-1-τ)·(1/2)·sin(2τ) dτ

#1

Ah, okay.

Jeg har så valgt at bytte om, således jeg har: y(t) = ₀∫^t u(τ-1)sin(2(t-τ))dτ

Hvordan løser jeg så denne her?

#2

Benyt, at u(τ-1) = 0   for τ < 1 , og = 1 for τ > 1 .

#3

Ja,

Hvordan integrerer man: sin(2(t-τ)) mht. τ?

#4

Betragt t som en konstant.  En stamfunktion er så (1/2)·cos(2(t-τ)) .

#5

Jeg har prøvet at slå det op for: ∫sin(ax)dx = -1/a cos(ax) med x = t-τ

Hvordan får du en positiv værdi?

#6

Du substituerer ikke korrekt. Med x = t-τ , er dx = -dτ , og derfor er fortegnet + i stamfunktionen. Du kan jo kontrollere ved at differentiere tilbage igen.

        ∫ sin(2(t-τ)) dτ = - ∫ sin(2·(τ-t)) d (τ-t) = (1/2)·cos(2(τ-t)) + k = (1/2)·cos(2(t-τ)) + k

#7

Det har du sku helt ret i. Jeg har rettet det og det giver det rigtige resultat nu.

Sidste spørgsmål: hvordan kan jeg vha. stepfunktioner beskrive en funktion, der har værdien:

v(t) = t for 0 < t < 1 og = 1 for t > 1?

#8

Prøv med

        v(t) = t·u(t) + (1-t)·u(t-1)

#9

Jeg har svært ved at se det, når v(t) bliver en lineær funktion (og ikke en konstant i et interval).

Hvordan kom du frem til den?

#10

Fra det første led får man bidraget t , når t > 0 .

Fra det andet led kommer der først et bidrag (1-t), når t > 1 , og her får man ialt t + (1-t) = 1 .

I øvrigt: hvis du mener, at nogle af de svar, du får her på Studieportalen, er brugbare for dig, er du velkommen til at markere det ved at trykke på knappen "Brugbart svar" i de svar, du finder brugbare.

#11

Smart, mange tak! :-)

#12

Hvis din tekstbog ikke allerede viser, hvordan man bygger forskellige typer periodiske funktioner (rektangler, trekanter, savtakker), kan du kigge på denne artikel

http://en.wikipedia.org/wiki/Square_wave

sammen med links under "See also".

#13

Tak for det.

Hvordan kan laplacetransformationen af -(t-1)u(t-1) give e^-s/s²?

#14

Det gør det heller ikke. Med f(t) = -(t-1)u(t-1) har man

        F(s) = ₀∫^∞ e^-st·f(t) dt = - ₁∫^∞ e^-st·(t-1) dt = - ₀∫^∞ e^-s(t+1) · t dt = - e^-s · ₀∫^∞ e^-st · t dt = -e^-s / s² .

#15

Jeg kom igennem det.

Kan du egentlig se på følgende:

https://dl.dropboxusercontent.com/u/31729551/1.jpg

Hvorfor man integrerer fra 1 til t, når r(τ) = 1 for 1 < τ < 2? Hvorfor integrerer man ikke fra 1 til 2?

#15

Det er vel ikke en fejl i lærebogen?

#17

Der integreres i τ fra 0 til t. Der er kun bidrag til integralet, hvis 1 < t < 2. Hvis 1 < t < 2 integreres i τ fra 1 til t, som det er anført.

#18

Jeg er enig i, at der kun er bidrag fra, når 1 < t < 2, men hvorfor integrerer man i τ fra 1 til t (og ikke til 2)?

#19

Fordi der oprindelig integreres fra 0 til t , dvs fra 1 til t , fordi der kun er bidrag for τ > 1.