Matematik

Grænseværdi

12. oktober 2014 af nøddeb (Slettet) - Niveau: A-niveau

Jeg har $x\overset{limes}{\rightarrow}1 = \frac{x^{1/3}-1}{x-1} = \frac{1/3}{0}$

derfor anvender jeg Hopitals regel:

$x\overset{limes}{\rightarrow}1 = \frac{1/3x^{-2/3}* (x-1)- (x^{1/3})-1}{(x-1)^2} = \frac{1/3}{0}$

?? Det burde bare give 1/3??

Hvad har jeg gjort forkert

Brugbart svar (0)

Svar #1
12. oktober 2014 af peter lind

Du blander reglen om differentiationen af en koefficient sammen med Hoptal's regel

Du skal bahve (x^1/3-1)'/(x-1)'

Brugbart svar (0)

Svar #2
12. oktober 2014 af Therk

^{_{Det er dårlig skik at benytte limes-notationen før det er kontrolleret veldefineret.}}

Du kan ikke anvende L'Hôpital på andet end $_{$ eller $_{$ -udtryk. Heldigvis har du at

$x ^{1/3}-1 \stackrel{x\rightarrow 1}\longrightarrow 1-1 = 0 \neq 1/3$

L'Hopitals regel siger at hvis grænseværdierne i y for f og g begge er 0, ∞ eller -∞ er

$\lim_{x\rightarrow y} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\rightarrow y}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$

Med

$\begin{align*} f(x) &= x^{1/3}-1 \text{ og}\\ g(x)&=x-1 \end{align*}$

skal du blot finde de to afledte funktioner.

Svar #3
12. oktober 2014 af nøddeb (Slettet)

hvis jeg anvender f '(x) / g' (x)

Så får jeg (1/3^ (2/3) -1) /( 1)???

Svar #4
12. oktober 2014 af nøddeb (Slettet)

Når det er to funktioner som divideres, skal man da så ikke anvende:
f ' (x) / g'(x) = f'g - fg' / g^2

Brugbart svar (0)

Svar #5
12. oktober 2014 af peter lind

#3 ja

#4 Som nævnt i #1 forveksler du reglen for differentiation foe en kvotient med l'Hospitals regl'

(f/g)' = (f*g-f*g')/g

Her skal du imidlertid brige 'Hospitals regel, som er noget helt andet. Reglen siger at hvis f(x) og g(x) er differentiable og har værdien 0 i x₀ samt g'(x0) ≠ 0 så vil f'(x₀)/g'(x₀) være grænseværdien for f(x)/g(x) for x->x₀

Svar #6
12. oktober 2014 af nøddeb (Slettet)

Kan jeg delvis godt se..
men skal g(x) i nævneren ikke være opløftet?
Har differentieret på normalvis, men kan stadig ikke komme frem til 1/3 ... Hmm..

Brugbart svar (0)

Svar #7
12. oktober 2014 af Therk

Læs venligst #2 igen. Med
$\begin{align*} f(x) &= x^{1/3}-1 \text{ og}\\ g(x)&=x-1 \end{align*}$

får du

$\begin{align*} f'(x) & = \frac 13 x^{-2/3} \text{ og}\\ g'(x) &= 1 \end{align*}$

og derfor

$\frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{\frac 13 x ^{-2/3}}{1} \stackrel{x\rightarrow 1}\longrightarrow \,\frac 13\cdot 1$

så ved L'Hôpital's regel har du nu at grænseværdien eksisterer for $_{f(x)/g(x)}$ og grænseværdien er den samme som ovenstående.

Brugbart svar (0)

Svar #8
12. oktober 2014 af Therk

Der er stor forskel på

$h'(x) = \frac{\mathrm d }{\mathrm d x} \frac{f(x)}{g(x)}$

$\frac{f'(x)}{g'(x)}.$

Svar #9
12. oktober 2014 af nøddeb (Slettet)

Det er også det jeg er kommet til
Det bliver så (1/3)^(-2/3) / 1.. ??

Brugbart svar (0)

Svar #10
12. oktober 2014 af Therk

Nej.

$\frac{\frac 13 x^{-2/3} }{1}= \frac13 \cdot 1^{-2/3} = \frac 13 \cdot 1 = \frac 13$

for x=1.

Svar #11
12. oktober 2014 af nøddeb (Slettet)

Hvordan forsvinder ( -2/3)??? Det er dér det går galt

Brugbart svar (0)

Svar #12
12. oktober 2014 af Therk

Fordi ${1^x = 1}$ for alle

Svar #13
12. oktober 2014 af nøddeb (Slettet)

er det en generel regel??
Og jeg siger 1000 tak for hjælpen!

Brugbart svar (0)

Svar #14
13. oktober 2014 af Therk

Ja. Det gælder ikke blot for alle reelle tal, men også for alle komplekse tal, .

Velbekomme!

Svar #15
13. oktober 2014 af nøddeb (Slettet)

Øv.. nu er der en opgave som ikke vil gå op, og kan ikke se hvad jeg har gjort galt:

$x\rightarrow 1 = \frac{x^2-1}{tan (x-1)}$

jeg får $x\rightarrow 1 = \frac{2x}{1 + tan (x-1)^2 *x}$

men facit siger at det skal give pi?

Brugbart svar (0)

Svar #16
13. oktober 2014 af peter lind

Du kan ikke skrive x-1 = ...

Du knan skrive lim x->1 'udtryk' x->1 skal stå under lim

du kan også skrive

grænseværdien for x->1 for 'udtryk' er grænseværdien for x->1 for 'udtryk' er og så facit.

her er 'udtryk' et funktionsudtryk

(tan(x-1) )' =1+tan²(x-1).

facit giver ikke π, så du har måske skrevet funktionen forkert op

Svar #17
13. oktober 2014 af nøddeb (Slettet)

har anvendt kædereglen for at differentiere nævneren:

1+ tan^2(x-1)* x

F ' (x) = f' (g)*g'

f' = 1+ tan^2(x)

g' = x

så skal der ike være et x i nævneren?

så mit resulttat er rigtigt og ikke facit?

Brugbart svar (0)

Svar #18
13. oktober 2014 af peter lind

g(x) = x-1, g'(x) = 1

Bortset fra den forkerte differentiation af x-1 så ja

Brugbart svar (0)

Svar #19
13. oktober 2014 af hejmeddig121 (Slettet)

Når ups..

1= x

Men 100 tak

Brugbart svar (0)

Svar #20
14. oktober 2014 af Therk

Nogle gange kan det hjælpe at plotte funktionen. Funktionen er kontinuert differentiabel i intervallet

$x \in (-\pi+1, \pi+1) \cap \{ 1 \},$

så det er ikke helt unfair at kontrollere grænseværdien i 1 den vej.

#15
Øv.. nu er der en opgave som ikke vil gå op, og kan ikke se hvad jeg har gjort galt:

$x\rightarrow 1 = \frac{x^2-1}{tan (x-1)}$

jeg får $x\rightarrow 1 = \frac{2x}{1 + tan (x-1)^2 *x}$

men facit siger at det skal give pi?

Din notation er ikke særlig god. Lighedstegnet er meget uheldigt placeret.

Skriv i stedet

Jeg skal finde grænseværdien af

$\frac {x^2-1}{\tan(x-1)}$

for $_{x\rightarrow 1.}$

Jeg får at grænseværdien skal være den samme som for

$\frac{2x}{1+x\tan(x-1)^2}$

for $_{x \rightarrow 1}$ , men facit siger at det skal give $\pi$ . Hvad gør jeg galt?

Det er selvfølgelig en læringsproces - ingen forventer at du skriver det rigtigt i starten, men prøv at lægge mærke til notationen.

Du bør få at grænseværdien er 2 ved L'Hôpital.

Forrige 1 2 Næste

Der er 21 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.