Taylorpolonomium

Der er givet funktionen

        f(t) = t²·cos(t) + 7·sin(11t) + 2 .

For at opstille Taylorpolynomiet for f(t) ud fra 0 skal man beregne f(0) , f '(0) og f ''(0) hvorefter polynomiet er

        T₂(t) = f(0) + (f '(0)/1!)·t + (f ''(0)/2!)·t² .

Hvis du endelig vil bruge Taylorpolynomierne for cos(t) og sin(11t) skal du opstille det korrekt:

        sin(11t) = 11t - (1/3!)·(11t)³ + ...

så man vil forvente, at det vil være

        T₂(t) = 2 + 7·11t +t² = 2 + 77t + t² .

Når man diff. 

hvordan får man 

Hvor kommer 77 fra?

#2

77 = 7·11 .

Når man differentierer   sin(at)   får man   a·cos(at) .

Den første afledede er:

#4

Nej, det er ikke korrekt. Du har ikke differentieret det første produkt korrekt. Man har

        f '(t) = 2t·cos(t) - t²·sin(t) + 77·cos(11t) .

Har gjort det således:

#6

Som nævnt differentierer du ikke produktet (t²·cos(t)) korrekt. Benyt reglen for differentiation af et produkt:

        (t²·cos(t))' = (t²)'·cos(t) + t²·(cos(t))' = 2t·cos(t) - t²·sin(t) .

I #1 fandt du frem til polynomiet hvorledes?

Hvorfor dividerer du med 1 og 2

#8

Der divideres med 1! og 2! . Det generelle udtryk for Taylorpolynomiet af grad n for funktionen f(t) udviklet fra 0 er

        T_n(t) = ∑ⁿ_k=0 (f^(k)(0)/k!)· t^k .

Her finder man f(0) = 2 , f '(0) = 77 , f ''(0) = 2 , hvorfor

        T₂(t) = 2 + (77/1!)·t + (2/2!)·t² = 2 + 77t + t² .

Jeg benyttede dog dit eget forslag med at benytte Taylorudviklingerne for cos() og sin() til 2. orden. Så har man

        T₂(t) = t²·(1 - (1/2!)·t²) + 7·(11t - (1/3!)·(11t)³) + 2

                = t² + 77t + 2 .