Konvergent.

Nej, den række er divergent. Formodentlig mener du

Der gælder jo, at 2ⁿ → ∞ for n → ∞ , og afsnitsfølgen er divergent.

En nødvendig betingelse for at en række  ∑^∞_n=1 a_n  er konvergent er, at |a_n| → 0 for n → ∞ .

Ja, det er klart. Hvis vi tager følgende eksempel, som fx er:

Den er konvergent fordi an -> 0 for n -> uendelig. Er det rigtigt?

#2

Nej, den er ikke nødvendigvis konvergent, fordi a_n → 0 .

Men hvis summen af afsnittet som du skriver er lig med 1/N + 1 , går afsnitsfølgen mod 1.

#3

Så hvis afsnitsfølgen går mod 1, så er den konvergent.

#4

Hvis afsnitsfølgen er konvergent, er rækken konvergent (pr definition).

#5

Mange tak. 

Mit sidste spørgsmål er så, hvis jeg nu skal finde værdier af x, for hvilke:

er konvergent. (Konvergensintervallets endepunkter er x= +-1

Så skal jeg vel løse følgende ulighed:

n*x^n < 1

Men hvordan isolerer jeg x?

#6

Du anfører, at konvergensradius er lig med 1. Skal du så stadig bestemme rækkens konvergensradius?

For en potensrække  ∑^∞_n=0 a_nxⁿ , hvis koefficienter  a_n alle er ≠ 0 , ser man på talfølgen  |a_n+1 / a_n| . Hvis følgen er konvergent med grænseværdi c, er potensrækken konvergent med konvergensradius r = 1/c .

Den pågældende række har konvergensradius 1 og er derfor konvergent for |x| < 1 . Spørgsmålet dernæst er så, om rækken er konvergent på randen af konvergensintervallet. Det er oplagt, at det ikke er tilfældet.

#7

Så for alle værdier af  < 1, er rækken konvergent. Jeg forstår det ikke helt.

#8

Ja, det er korrekt.