Matematik

integralet

19. oktober 2014 af MarieFab (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

jeg har et integral $\int_{1}^{\infty }\frac{1}{x^{2}} dx$ og jeg skal finde ud af om dt er konvergent eller divergent.

kan I hjælpe??

Brugbart svar (0)

Svar #1
19. oktober 2014 af Physant (Slettet)

Giver det ikke 1 ?

Brugbart svar (1)

Svar #2
19. oktober 2014 af ab19888 (Slettet)

#0

Hvis du beregner integralet, får du:

1-(1/t).

Og idet 1-(1/t) -> 1 for t -> uendelig, så er integralet konvergent.

Svar #3
19. oktober 2014 af MarieFab (Slettet)

tak. er den her række så også konvergent? og hvordan regner man summen af en rækken??

$\sum_{n=1}^{\infty } = \frac{6}{n(n+2)^{7}}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
19. oktober 2014 af Physant (Slettet)

Fjern "="-tegnet. Den er konvergent.

Svar #5
19. oktober 2014 af MarieFab (Slettet)

hehe ups. lighedstegnet skal selvfølgelig ik være der :)

men hvorfor er den konvergent?

Brugbart svar (0)

Svar #6
19. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

Den er konvergent, fordi

$\left | \frac{1}{n(n+2)^{7}} \right |\leq \left | \frac{1}{n^{8}} \right |\leq \left | \frac{1}{n^{2}} \right |$

og rækken ∑^∞_n=1 1/n² vides at være konvergent. Den sidste række er en konvergent majorantrække for den aktuelle række.

Svar #7
19. oktober 2014 af MarieFab (Slettet)

#5 , hvad er en majorantrække? og hvordan regner man summen af en række ud?

Brugbart svar (0)

Svar #8
19. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

En række ∑^∞_n=1 b_n er en majorantrække til rækken ∑^∞_n=1 a_n, hvis det for alle n gælder, at |a_n| ≤ |b_n| .Ovenfor er der kun taget stilling til spørgsmålet om rækkens konvergens, ikke om dens sum.

Brugbart svar (0)

Svar #9
19. oktober 2014 af Physant (Slettet)

Ydermere vides det, at summen over de naturlige tal af 1/n^2 giver pi^2/6. Det var Euler, der påstod dette. Jeg ved faktisk ikke, hvornår der kom et matematisk bevis for dette elegante udsagn.

Brugbart svar (0)

Svar #10
19. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

Euler bekendtgjorde resultatet ∑^∞_n=1 1/n² = π²/6 i 1735 , men han var først i stand til at bevise det rigoristisk i 1741.

Brugbart svar (0)

Svar #11
19. oktober 2014 af Physant (Slettet)

Okay - tak for info. Tænkte nok, at det var på den tid. I 1740 indtog Frederik den Anden af Preussen 'Schlesien' fra Østrig, og jeg vidste, at Euler gjorde sin opdagelse før dette. :-)

Brugbart svar (0)

Svar #12
19. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

At summere rækken ∑^∞_n=1 1/n² var det såkaldte Baselproblem, der først var formuleret i 1644 af Pietro Mengoli, og Euler fandt udtrykket for summen i 1735. Mengoli selv viste at den alternerende harmoniske række summeres til ln(2) .

Skriv et svar til: integralet

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.