Matematik

Matematik komplekse tal Haster!!!!

27. oktober 2014 af søstjernen (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg har en opgave jeg er tvivl om:

Betragt det komplese tal z_0=2e(i*pi/6).

a) bestem det komplekse tal w=z^4_0 både på polær form og formen x+iy(x,y ∈ R)

b)Bestem samtlige komplekse tal z, der løser 4. gradsligningen z^4=w.

Jeg har brug for hjælp til komplekse tal

Brugbart svar (0)

Svar #1
27. oktober 2014 af mathon

$w=z{_{0}}^{4}=\left ( 2\cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{6}} \right )^4=2^4\cdot \left (e^{i\cdot \frac{\pi }{6} \right )^4=16\cdot e^{i\cdot \frac{4\pi }{6}}= \mathbf { 16\cdot e^{i\cdot \frac{2\pi }{3}}}=$

$16\cdot \left ( \cos\left (\tfrac{2\pi }{3} \right )} +i\cdot \sin\left (\tfrac{2\pi }{3} \right )\right )=16\cdot \left (-\tfrac{1}{2} \right )+i\cdot 16\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}= \mathbf{-8+i\cdot 8\sqrt{3}}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
27. oktober 2014 af mathon

$z^4=2^4\cdot e^{i\cdot \frac{2\pi }{3}}\cdot e^{i\cdot p\cdot 2\pi }$ $z^4=2^4\cdot e^{i\cdot \frac{2\pi }{3}}\cdot e^{i\cdot p\cdot 2\pi }\; \; \; p\in \{0,1,2,3\}$

$\left (z^4 \right )^\frac{1}{4}=\left (2^4\cdot e^{i\cdot \frac{2\pi }{3}}\cdot e^{i\cdot p\cdot 2\pi } \right )^{\frac{1}{4}}$

$z=\left ( 2^4 \right )^{\frac{1}{4}}\cdot\left (e^{i\cdot \frac{2\pi }{3}} \right )^{\frac{1}{4}}\cdot \left (e^{i\cdot p\cdot 2\pi } \right )^{\frac{1}{4}}=2\cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{6}}\cdot e^{i\cdot p\cdot \frac{\pi }{2}}$

som for p ∈ {0,1,2,3}
giver
               $z_1=2\cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{6}}\cdot e^{i\cdot {\color{Red} \mathbf 0}\cdot \frac{\pi }{2}}=2\cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{6}}=2\cdot \cos\left ( \tfrac{\pi }{6} \right )+i\cdot2\cdot \sin(\tfrac{\pi }{6})={\color{Red} \mathbf{\sqrt{3}+i}}$
               $z_2=2\cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{6}}\cdot e^{i\cdot {\color{Red} \mathbf 1}\cdot \frac{\pi }{2}}=2\cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{2}}=2\cdot \cos\left ( \tfrac{2\pi }{3} \right )+i\cdot 2\cdot \sin(\tfrac{2\pi }{3})={\color{Red} \mathbf {-1+i\sqrt{3}}}$
               $z_3=2\cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{6}}\cdot e^{i\cdot {\color{Red} \mathbf 2}\cdot \frac{\pi }{2}}=2\cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{6}+\pi} =2\cdot \cos\left ( \tfrac{7\pi }{6} \right )+i\cdot 2\cdot \sin(\tfrac{7\pi }{6})={\color{Red} \mathbf {-\sqrt{3}-i}}$
   $z_4=2\cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{6}}\cdot e^{i\cdot {\color{Red} \mathbf 3}\cdot \frac{\pi }{2}}=2\cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{6}+\frac{3\pi}{2}} =2\cdot \cos\left ( \tfrac{5\pi }{3} \right )+i\cdot 2\cdot \sin(\tfrac{5\pi }{3})={\color{Red} \mathbf{1-i\sqrt{3}}}$

Svar #3
27. oktober 2014 af søstjernen (Slettet)

1000 tak. Nu forstår jeg det:D

Brugbart svar (0)

Svar #4
27. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

Alternativ fremgangsmåde.

Da w = z₀⁴ kan man løse ligningen z⁴ = w således:

z⁴ = w

z⁴ = z₀⁴

z⁴ - z₀⁴ = 0

(z² + z₀²)·(z² - z₀²) = 0

(z² - i²·z₀²)·(z + z₀)·(z - z₀) = 0

(z + i·z₀)·(z - i·z₀)·(z + z₀)·(z - z₀) = 0 .

Benytter man nulreglen, kan man aflæse de fire rødder:

z₁ = i·z₀ , z₂ = -i·z₀ , z₃ = z₀ , z₄ = -z₀ .

Da z₀ = 2·e^iπ/6 = 2·(cos(π/6) + i·sin(π/6)) = √3 + i

har vi

z₁ = -1 + i·√3

z₂ = 1 - i·√3

z₃ = √3 + i

z₄ = -√3 - i

hvor nummereringen af rødderne er permuteret iforhold til nummereringen i #2.

Skriv et svar til: Matematik komplekse tal Haster!!!!

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.