Differentialligning

Benyt substitution   u = t² , du = 2t dt , og benyt også partiel integration.

        ∫ e^(3t^2)·(-2t^3) dt = - ∫ e^3u · u du

Partiel integration: e^3u integreres og u differentieres ned.

Hvordan kan du se at substitution skal benyttes?

#2

Det forenkler jo integralet. Derved kommer man af med eksponenten t^2 i eksponentialfunktionen, for hvilken der ikke generelt er "pæne" stamfunktioner.

Hmmm er gået i stå igen, kan se at hvis jeg ganger det ud får jeg noget andet end computeren.

#4

En fejl, du begår, er, at du blander variablene, når du substituerer. Derved opstår der rod og kaos. Når man substituerer, blander man ikke variablene. Man erstatter den gamle variabel med den nye. Man har således

        ∫ e^{3t^2}·(-2t³) dt = - ∫ e^{3t^2} · t² · 2t dt = - ∫ e^3u · u du = -(1/3)·e^3u·u + (1/3)·∫ e^3u du

                               = -(1/3)·e^3u·u + (1/9)·e^3u + k

                               = -(1/3)·e^{3t^2}·t² + (1/9)·e^{3t^2} + k

hvad gør du så men det der står foran integralet ?

#6

Det er en faktor, der ganges med hvert led i integralet, dvs.

        e^{-3t^2} · (-(1/3)·e^{3t^2}·t² + (1/9)·e^{3t^2} + k) = (-1/3)·t² + (1/9) + k·e^{-3t^2}

Må sige at jeg har svært ved at forstå dette led? Kunne du uddybe?

- ∫ e^3u · u du = -(1/3)·e^3u·u + (1/3)·∫ e^3u du

#8

Man benytter partiel integration

        ∫ f(x)·g(x) dx = F(x)·g(x) - ∫ F(x)·g'(x) dx .

Her vil f(x) svare til e^3u og g(x) vil svare til u . Derfor er

        ∫ e^3u · u du = (1/3)·e^3u·u - (1/3)·∫ e^3u du = (1/3)·e^3u·u - (1/9)·e^3u + k .

Gang så det hele med -1.

hmmm hvad de -(1/3) ? hvordan kommer de ind i billedet?

 ∫ e3u · u du = (1/3)·e3u·u - (1/3)·∫ e3u du = 

#10

De kommer fra det generelle udtryk for partiel integration, som jeg gav i #9

        ∫ f(x)·g(x) dx = F(x)·g(x) - ∫ F(x)·g'(x) dx

Jeg trak faktoren (1/3) fra "F(x)" = (1/3)e^3u  uden for integralet.