Det bestemte punkt

Man har lov til at kalde det punkt, man betragter, for hvad man har lyst til. Det er nu bekvemt at kalde det x₀ for at markere, at det holdes fast, mens x for eksempel betragtes som en variabel.

#1

Hej Andersen

Vil du uddybe: ..for at markere at det holdes fast 

Men x₀ ligger (0,y) og det gør tangenten nødvendigvis ikke

Så egentlig, må jeg så godt sige, jeg finder ud af hældningen i et punkt, lad os kalde det x₁ får vi så

#2

Det forstår jeg ikke. x₀ er da ikke nødvendigvis 0. x₀ er et navn man giver til den x-koordinat, hvor man laver disse betragtninger.

Hvis du i stedet kalder det x₁, skal du så være konsistent

        a = [f(x₁+Δx) - f(x₁)] / Δx

#2

Jeg forstår bare ikke helt, hvorfor det bliver kaldt et bestemt punkt, x₀, men jeg vil vælge og se det som bare et navn til punktet.

Hvis vi siger, en funktion , f(x) = x² og vi har en tangent, der skærer i punktet (1,1) finder vi så hældningen af tangenten, a ?. Kan vi så også finde ud af b, så vi får det på formen y = ax + b

Og hvis vi vil bekræfte om tangenten skærer i punktet (1,1), løses der så f(1) = x² ?

#4

Punktet bliver til et bestemt punkt, når vi sætter fokus på det.

Tangenten vil røre grafen i et punkt, ikke skære grafen.

Tangenten til grafen for f i et punkt x₀ skal indeholde punktet (x₀ , f(x₀)) , og tangentens hældningskoefficient er f '(x₀) . Derfor er tangentens ligning

        y = f '(x₀) · (x - x₀) + f(x₀) .

#5

Det giver god mening, tak torben

Må tangentens ligning så også skrives som y = f '(x_n) · (x - x_n) + f(x_n) ? hvor x_n så er det bestemte punkt vi sætter fokus på.

I punktet (x₀, f(x₀) er f(x₀) da b og skærer så i grafen og x₀ er så det bestemte punkt vi sætter fokus på, der ligger på grafen. Må det tilsvarende skrives erstatning af 0 med n eller andet, som vist ovenover

fordi f(x) = ax + b får vi f '(x) = b

#6

Ja, det er jo ligegyldigt, hvad man kalder røringspunktets x-koordinat, så længe det g8res konsistent.

Nej, f(x₀) er ikke b, da b = f(x₀) - f '(x₀)·x₀ .

Bemærk, at for en lineær funktion f(x) = ax + b , er f '(x) = a , ikke b.

Tak, jeg har bare altid undret mig over, hvorfor der altid bliver benyttet x₀.

men angående tangentens ligning er det ikke

er da f '(x₀) a , (x - x₀) er x og f(x₀) er b, så det danner formen

hvordan får du f '(x) til a, hvilke(n) regel bruger du

#8

Du må ikke kalde tangentens forskrift for f(x) når det nu drejer sig om tangenten til grafen for en generel funktion f(x).

Jeg troede, at du betragtede en lineær funktion, siden du begyndte at skrive f(x) = ax + b.

For en funktion f(x) er tangentens hældningskoefficient i røringspunktet (x₀ , f(x₀)) da a = f '(x₀) . Det følger jo af, at tangenten er grænsestillingen for sekanterne gennem punktet (x₀ , f(x₀)) . Tangentens ligning er som nævnt før

        y = f '(x₀) · (x - x₀) + f(x₀) .

Det er noget vrøvl at skrive, at (x - x₀) er x, og at f(x₀) er b. Læs i stedet #7.

#9

Overså lige noget i #7

Men tangentligning danner en lineærforskrift, y = ax + b og så må ledene fremgå som hhv. a, x og b, ellers får jeg det ikke til at gå op.

Hvordan får du b = f(x₀) - f '(x₀)·x₀ og hvad er x så ?

Hvilke regler bruges der til differentiering af y = ax + b ?

Men som konklusion til det bestemte punkt, x₀, er det blot en bemærkning, at det er et bestemt punkt, og det er det, vi sætter fokus på ?

#10

x er den uafhængige variable. Tangentens ligning er

        y = f '(x₀) · (x - x₀) + f(x₀)

           = f '(x₀)·x + f(x₀) - f '(x₀)·x₀

           = a·x + b

hvoraf man ser, at a = f '(x₀) og b = f(x₀) - f '(x₀)·x₀ , som også angivet i #7.

Man differentierer en lineær funktion   f(x) = ax + b   ved at benytte den generelle regel (xⁿ)' = n·x^n-1 på hvert led. Man finder da, at f '(x) = a . Grafen for den lineære funktion f(x) = ax + b  er en ret linie, der har sig selv som tangent i hvert punkt.

#11

Hej igen

Det hjalp rigtig meget med omskrevning af tangentligningen, tusind tak.

Vil du bekræfte om følgende er rigtigt: Men som konklusion til det bestemte punkt, x0, er det blot en bemærkning, at det er et bestemt punkt, og det er det, vi sætter fokus på ? fra #10

Den regel skal jeg kunne genkende noget bedre, af at x er en variable og ikke en konstant, tusind tak for det også. 

#12

Man sætter jo netop et indeks på det faste punkt for at kunne skelne det fra den variable x.

#13

Tak for bekræftelsen og tusind tak for hjælpen.

___________

Mvh.

C. Koburg