Matematik

Kuglekoordinater og rumintegraler

04. november 2014 af Niko83 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej derude. Jeg er i gange med en opgave som jeg ikke kan løse.
Jeg ved ikke hvorfor kommer jeg i stå, da jeg tror, at jeg gør det som jeg skal.

opgaven:

: Udtryk mængden
R = {(x, y, z) | 0 ≤ y, x² + y² + z² ≤ 1} i sfæriske koordinater, og udregn derefter rumintegralet af funktionen
f(x, y, z) = y over R.

Udtrykket x²+ y² + z² ≤ 1 bliver til ρ²≤1.
Jeg gætter frem, at vinklen phi ligger i intervallet 0 til π og theta ligger fra (-π/2) til (π/2)

Da y = ρ*sin(θ)*sin(φ)
så vil man beregne rumintegralet på følgende måde: $\int_{0}^{1}\int_{-Pi/2}^{Pi/2} \int_{0}^{Pi}(rho*sin(theta)*sin(phi))dphi dtheta dRho$

Når jeg beregne rumintegralet, så får jeg nul. Jeg ved ikke hvad er ikke rigtigt i min opgave.
Jeg håber, håber at nogen vil hjælpe med denne opgave

Brugbart svar (0)

Svar #1
04. november 2014 af mathon

Husk transformationen:

$\int \int \int F(x,y,z)\, dx\, dy\, dz\; =\; \int \int \int H(\rho ,\phi ,\theta )\left | \rho ^2{sin(\phi )} \right |\, d\rho \, d\phi \, d\theta$

Brugbart svar (0)

Svar #2
04. november 2014 af peter lind

Det er ikke helt rigtigt se http://da.wikipedia.org/wiki/Sf%C3%A6risk_koordinatsystem

Brugbart svar (0)

Svar #3
04. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Transformationen mellem rektangulære koordinater (x,y,z) og sfæriske koordinater (r,θ,φ) vil typisk være

$\newline x=r \sin \theta \cos \varphi \newline y=r \sin \theta \sin \varphi \newline z=r \cos \theta$

hvor r ≥ 0 , 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ φ < 2π , og hvor

dV = dx dy dz = r²·sin(θ) dr dθ dφ .

For y ≥ 0 skal man begrænse φ til 0 ≤ φ ≤ π , og det ønskede rumintegral er da

$\newline V=\int_{0}^{1}\int_{0}^{\pi }\int_{0}^{\pi }r \sin \theta \sin \varphi \cdot r^{2}\sin \theta\, \textup{d}r\, \textup{d}\theta\, \textup{d}\varphi \newline\newline =\int_{0}^{1}r^{3}\, \textup{d}r \,\,\cdot\,\,\int_{0}^{\pi} \sin^{2}\theta\,\textup{d}\theta \,\,\cdot\,\,\int_{0}^{\pi} \sin \varphi \,\textup{d}\varphi \newline\newline =\frac{r^{4}}{4}\cdot \frac{\pi}{2}\cdot 2=\frac{\pi}{4}r^{4}$

Skriv et svar til: Kuglekoordinater og rumintegraler

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.