Integralregning

Nogle af udtrykkene i mellemregningerne er ubestemte for n = 1.

For n = 1 har man

       (2/π) · (₀∫^π/2 sin²(x) dx + _π/2∫^π sin(x) dx) = (2/π) · (₀∫^π/2 (1/2)(1-cos(2x)) dx + [-cos(x)]^π_π/2)

                                           = (2/π) · ((1/2)·[x - (1/2)sin(2x)]^π/2₀ -cos(π) + cos(π/2))

                                           = (2/π)·((1/2)·(π/2) - (1/4)·sin(π) + (1/4)·sin(0) -(-1))

                                           = (2/π)·(π/4 + 1)

                                           = (1/2) + (2/π)

For n ≠ 1 er det simpleste mσske at bruge partiel integration 2 gange:

        ∫ sin(x)·sin(nx) dx = -cos(x)·sin(nx) + ∫ n·cos(x)·cos(nx) dx

                                     = -cos(x)·sin(nx) + n·sin(x)·cos(nx) + n²·∫ sin(x)·sin(nx) dx

hvoraf man ser, at

        (n² - 1) · ∫ sin(x)·sin(nx) dx = cos(x)·sin(nx) - n·sin(x)·cos(nx) .

Heraf ser man så umiddelbart, at

        ₀∫^π/2 sin(x)·sin(nx) dx = -(n/(n²-1))·cos(nπ/2) .

Endvidere fås

        _π/2∫^π sin(nx) dx = [-(1/n)·cos(nx)]^π_π/2 = (1/n)·(cos(nπ/2) -cos(nπ)) = (1/n)·(cos(nπ/2) - (-1)ⁿ)

Sammenlagt fås

        ₀∫^π/2 sin(x)·sin(nx) dx + _π/2∫^π sin(nx) dx = (-1)^n-1/n  - 1/((n-1)n(n+1))·cos(nπ/2)

Bemærk, at    cos(nπ/2) = 0 , når n er hel og ulige, og = (-1)^n/2 , når n er hel og lige.

#1 #2

Tak, det vil jeg se på om lidt.