Matematik
Fouriertransformation
Hej,
Jeg har en puls, der har størrelsen:
f(t) = A for |t|<a/2 og 0 for |t|>a/2
Der bliver spurgt om Fouriertransformationen af denne puls og jeg kommer frem til:
f(ω) = A·a·sin(ω·a/2)/(ω·a/2), men jeg er sku lidt i tvivl om, hvad det er jeg har regnet på.
Jeg ved, at jeg har lavet en puls fra tidsdomænet til frekvensdomænet, der i øvrigt har en sinusform. Men jeg har lidt svært ved at tolke på resultatet. Umiddelbart ser det ud som om, at ω=0 giver den største funktionsværdi for f(ω), men hvad betyder det helt præcist?
Svar #1
11. november 2014 af Haxxeren
Se bort fra spørgsmålet i #0
Fourierintegralet af pulsen i #0 er bestemt til f(t) = 2·A/π 0∫∞ sin(ω·a/2)/ω · cos(ω·t) dω
Sætter vi (tidsintervalet) a = 2, dvs. pulsen med amplituden A varer fra t = -1 til t = 1, så giver integralet:
f(t) = 2·A/π 0∫∞ sin(ω)/ω · cos(ω·t) dω
Til tiden t = 0 har vi f(t) = A, dvs.:
A = 2·A/π 0∫∞ sin(ω)/ω dω
⇓
π/A = 0∫∞ sin(ω)/ω dω
Men, hvis vi nu antog, at a (altså tidsintervallet) var ukendt, så har vi til t = 0:
A = 2·A/π 0∫∞ sin(ω·a/2)/ω dω
⇓
π/A = 0∫∞ sin(ω·a/2)/ω dω
Så mit spørgsmål er:
Hvordan kan to forskellige integraler (0∫∞ sin(ω)/ω dω og 0∫∞ sin(ω·a/2)/ω dω) give det samme resultat?
Svar #2
12. november 2014 af Haxxeren
Korrektion til #1
Der skulle selvfølgelig have stået π/2 i stedet for π/A som resultat for begge integraler.
Svar #3
12. november 2014 af Andersen11 (Slettet)
#2
Det skyldes jo, at
0∫∞ sin(ω·a/2)/ω dω = 0∫∞ sin(ω·a/2)/(aω) d(aω) = 0∫∞ sin(ω)/ω dω
Bemærk, at (1/ω) dω = (1/(aω))·a dω = (1/(aω)) d(aω)
Svar #4
12. november 2014 af Haxxeren
#3
Jeg har generelt ikke brugt notationen med d(aω) og kan heller ikke forstå det. Kan det vises ved substitution?
Svar #5
12. november 2014 af Haxxeren
#3
Det er løst nu. Jeg har substitueret med x = ω·α/2. Tak for det.
Svar #6
12. november 2014 af Andersen11 (Slettet)
#4
Notationen d(aω) er jo en substitution, men jeg skulle naturligvis have skrevet
0∫∞ sin(ω·a/2)/ω dω = 0∫∞ sin(ω·a/2)/(aω/2) d(aω/2) = 0∫∞ sin(ω)/ω dω
Skriv et svar til: Fouriertransformation
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.