Eksponentielfunktion

Det er jo ikke ordentligt defineret, men i en vis forstand har man

        e^{(-1+i·ω)·∞} = e^-∞ · e^iω·∞  .

Den første faktor er lig med 0, og den anden faktor har modulus 1, så produktet går i en passende grænseovergang mod 0.

#1

Kan du prøve at forklare det sidste led igen? Hvorfor gav det lig med 0?

#2

Den sidste faktor er ikke 0, men den er begrænset, da dens modulus er lig med 1. Den første faktor er lig med 0 (eller går mod 0), så produktet går mod 0 .

Jeg gik ud fra, at ω er et reelt tal.

#3

Tak, har den nu.

Har du i øvrigt et "trick" til at løse:

f(ω) = 2i · Im (₀∫^∞ sin(2t)e^-iωtdt)?

#4

Imaginærdelen af integralet er

        - ₀∫^∞ sin(2t)·sin(ωt) dt

men det er ikke veldefineret, da integranden ikke går mod 0 for t → ∞ .

#5

Helt oprindeligt har jeg:

f(ω) = -_∞∫^∞ sin(2t)e^-iωtdt,

hvor jeg i #4 har udnyttet, at sin(2t) er en ulige funktion.

#7

Hvad siger du til mit løsningsforslag:

https://dl.dropboxusercontent.com/u/31729551/2.pdf

(Beklager, at en af siderne vender forkert)

#8

Ja, der er jo himmelvid forskel på at integrere over [0;π/2] og så [0;∞[ .

Imaginærdelen af integralet bliver så

         - ₀∫^π/2 sin(2t)·sin(ωt) dt = -(1/2) · ₀∫^π/2 cos((ω-2)t) dt + (1/2) · ₀∫^π/2 cos((ω+2)t) dt

                                             = -1/(2(ω-2))·sin((ω-2)π/2) + 1/(2(ω+2))·sin((ω+2)π/2)

                                             = 1/(2(ω-2))·sin(ωπ/2) - 1/(2(ω+2))·sin(ωπ/2)

                                             = (2/(ω² - 4)) · sin(ωπ/2)

og det skal så ganges med 2i for at give hele dit integral i det vedlagte.

Det passer vist med dit resultat, men der er ikke så mange mellemregninger her.

#9

Min fejl, sorry. Jeg tænkte på den helt generelle formel, hvor man integrerer fra -∞ til ∞, men ved integration løber jeg ind i et problem, hvor jeg ikke må dividere med nul (når ω = ± 2). Vil det så sige, at jeg skal undersøge disse to punkter særskilt?

#10

Ja, det er du nødt til. Med ω = 2 får man så imaginærdelen af integralet til

        - ₀∫^π/2 sin(2t)·sin(2t) dt = -(1/2) · ₀∫^π/2 dt + (1/2) · ₀∫^π/2 cos(4t) dt

                                           = -(π/4) + (1/8)·sin(4·π/2)

                                           = -(π/4) + (1/8)

#11

Du mener vel -π/4 eller -iπ/2, når du har ganget 2i ind?

#12

I #11 var det kun imaginærdelen af dit integral, jeg beregnede. Du må så selv gange det med 2i .

#13

Ja, men du angav resultatet med 1/8 også, men sin(4·π/2) = 0.

#14

Ja, det har du da ret i, så #11 rettes til

        - ₀∫^π/2 sin(2t)·sin(2t) dt = -(1/2) · ₀∫^π/2 dt + (1/2) · ₀∫^π/2 cos(4t) dt

                                           = -(π/4) + (1/8)·sin(4·π/2)

                                           = -(π/4)

som så til sidst ganges med 2i .

For ω = -2 ganges resultatet for ω = 2 med -1 .

#15

Tak for hjælpen. :-)