Matematik

Integralregning

15. november 2014 af Matematikøkonomen (Slettet) - Niveau: 10. klasse

Jeg har en funktion, f(x) = x · e^{x^2} , og jeg skal finde stamfunktionen.

Jeg får det til

$\small \int (x\cdot e^{x^{2}})\cdot dx = \frac{1}{2}x^2 \cdot e^{x^{2}} - \int \left (\frac{1}{6}x^3 \cdot 2x\cdot e^{x^{2}} \right ) = \frac{1}{2}x^2 \cdot e^{x^{2}}-\left (\frac{1}{24}x^4\cdot x^2\cdot e^{x^{2}} \right )$

men det ser ikke rigtigt ud, hvad gør jeg forkert?

Brugbart svar (1)

Svar #1
15. november 2014 af peter lind

Du skal ikke integrer et led to gange ved partiel integration. Brug i stedet substitution t = x² dt=2xdx

Svar #2
15. november 2014 af Matematikøkonomen (Slettet)

Tak for dit svar peter

Bliver substitution ikke benyttet ved en sammensatfunktion, der er

$\small \int f(g(x))\cdot g'(x) \cdot dx = \int f(g(x)) \cdot dx$

Kan du ikke vise det første matematisk, så forstår jeg det bedre

Brugbart svar (1)

Svar #3
15. november 2014 af LeonhardEuler

Sæt t = x² og ^dt/_dx = 2x ⇔ dx = ¹/_2x dt

$\int x\cdot e^{t}\cdot \frac{1}{2x}\ dx=\frac{1}{2}\int e^{t}\ dt=\frac{1}{2}e^{x^{2}}+k$ hvor k ∈ R

Brugbart svar (1)

Svar #4
15. november 2014 af peter lind

I din notation g(x) =x² f(y) = e^y

Svar #5
15. november 2014 af Matematikøkonomen (Slettet)

Mange tak for dit svar Marcus.

Hvad er (dt/dx) tilsvarende med, hvad er (dy/dx), for har nemlig set det i differentialligninger.

Forstår ikke helt, hvordan 1 / (2x) dt kommer frem, kan jeg ikke bare skrive ∫ (x · e^t) dt , t = x² . ved at sætte (1/2) uden for integralet, benytter du da produktreglen, hvor den ene faktor er en konstant ?

jeg ser dit svar #1 og får, men hvordan kommer jeg videre fra

$\small \int (x\cdot e^t) \cdot dt =$

Brugbart svar (1)

Svar #6
15. november 2014 af LeonhardEuler

#1 og #2 :

Bemærk at man ikke anbringer en multiplikationsoperator mellem integranden og symbolet dx, da det er der implicit/latent.

Brugbart svar (1)

Svar #7
15. november 2014 af LeonhardEuler

#5 : Det er bare en notation.

$\frac{dt}{dx}=\frac{d}{dx}\ t=\frac{d}{dx}\ x^2=2x$

man differentierer t med hensyn til x og eftersom t = x²

da y = f(x) har man da $y'=f'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\ y =\frac{df(x)}{dx}=\frac{d}{dx}\ f(x)$

Svar #8
15. november 2014 af Matematikøkonomen (Slettet)

Tak for dit svar.

Men kan jeg ikke skrive, ∫ (x · e^t) dt , men så mangler jeg 1 / (2x) ligesom i #3 , hvordan kommer den frem?

Brugbart svar (1)

Svar #9
15. november 2014 af LeonhardEuler

Du skal integrere

$\int x\cdot e^{x^{2}}\ dx$

Ved at benytte subtitutionen t = x²og differentiere denne, får du da

$\frac{dt}{dx}=(x^2)'=2x\Leftrightarrow dx=\frac{1}{2x}\ dt$

nu subtituerer du ind

$\int x\cdot e^{x^{2}}\ dx=\int x\cdot e^{(t)}\ \left ( \frac{1}{2x}\ dt\right )=\int e^{t} \frac{x}{2x}\ dt=\int \frac{1}{2} e^{t}\ dt=\frac{1}{2}e^t+k$

nu subtituer du tilbage og får

$\frac{1}{2}e^t+k=\frac{1}{2}e^{x^{2}}+k$

Svar #10
16. november 2014 af Matematikøkonomen (Slettet)

Tusind tak for dine svar marcus - men jeg skal kigget mere på partiel integration og integration ved substitution - ellers forstår jeg det bedre nu.

Igen: Mange tak for dine svar.

Skriv et svar til: Integralregning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.