Matematik

differentialligning

20. november 2014 af Aghahowa100 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen:

3y''(t)+6y'(t)+4y(t)=0

og bestem herefter den løsning som opfylder y(0)=0 og y'(0)=1

håber i kan hjælpe derude :)

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. november 2014 af mathon

Den karakteristiske ligning

3r^2+6r+4=0

har løsningerne
                                 $-1\pm \frac{\sqrt{3}}{3}i$
hvorfor den generelle løsning til    3y''(t)+6y'(t)+4y(t)=0
er
                    $y(t)=e^{-t}\cdot \left ( c_1\cdot \cos\left (\frac{ \sqrt{3}}{3}t\right ) +c_2\cdot \sin\left ( \frac{\sqrt{3}}{3} t\right )\right )$

og
$y(0)=e^{-0}\cdot \left ( c_1\cdot \cos\left (\frac{ \sqrt{3}}{3}\cdot 0\right ) +c_2\cdot \sin\left ( \frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 0\right )\right )=0$

c_1=0

Brugbart svar (0)

Svar #2
20. november 2014 af mathon

dvs
$y(t)=e^{-t}\cdot c_2\cdot \sin\left ( \frac{\sqrt{3}}{3} t\right )$

$y{\, }'(t)=c_2\cdot e^{-t}\left ( -\sin\left ( \frac{\sqrt{3}}{3}t \right )+\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \cos\left ( \frac{\sqrt{3}}{3}t \right )\right )$

og
$y{\, }'(0)=c_2\cdot e^{-0}\left ( -\sin\left ( \frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 0 \right )+\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \cos\left ( \frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 0 \right )\right )=1$
$c_2\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=1$

$c_2=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$

konklusion:
$y(t)=\sqrt{3}\cdot e^{-t}\cdot \sin\left ( \frac{\sqrt{3}}{3} t\right )$

Skriv et svar til: differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.