Matematik

Skæring mellem linje og parabel

24. november 2014 af Tbrahms (Slettet) - Niveau: B-niveau

Hej! Jeg vil høre, om nogle kan give mig et hint til denne opgave, og hvad jeg evt skal gøre for at løse den:

Der er givet en parabel og en linje med ligningerne:

P: y=x²+x-2

L: y=-2+k

Opgaven lyder: Bestem k, så der bliver netop ét skæringspunkt.

Nogle, som ved hvilken løsning man skal bruge??
På forhånd tak!

Brugbart svar (0)

Svar #1
24. november 2014 af mathon

f(x)=x^2+x-2
$g(x)=-2+k=\mathbf{\color{Red} \, 0}x+(-2+k)$

Netop ét skæringspunkt betyder, at grafen for g(x) er tangent til grafen for f(x)

hvoraf
$f{\, }'(x)=0$

Svar #2
24. november 2014 af Tbrahms (Slettet)

Skrev ligningen for L forkert, der skulle stå: y=-2x + k
Men løsningen gælder stadig ikke?

Brugbart svar (0)

Svar #3
24. november 2014 af mathon

Tilpasning til tekstkorrektion:

f(x)=x^2+x-2
$g(x)=\mathbf{\color{Red} -2}x+k$

Netop ét skæringspunkt betyder, at grafen for g(x) er tangent til grafen for f(x)

hvoraf
$f{\, }'(x)=-2$

Svar #4
24. november 2014 af Tbrahms (Slettet)

Super, mange tak for hjælpen

Svar #5
24. november 2014 af Tbrahms (Slettet)

Så tangentens hældning er -2. Kan jeg tage et vilkårligt punkt (x,y) i parablen f(x), indsætte det i g(x) og udregne k?

Brugbart svar (0)

Svar #6
24. november 2014 af mathon

Løs
$f{\, }'(x_o)=-2$

og find ligningen for tangenten i (x_o,f(x_o)).
Denne skal være identisk med ligningen y = -2x + k,
hvoraf k kan beregnes.

Svar #7
24. november 2014 af Tbrahms (Slettet)

Er (x₀, f(x_o)) et tilfældigt punkt i parablen?

Brugbart svar (1)

Svar #8
24. november 2014 af Eksperimentalfysikeren

Skæringspuktet er løsning til de to ligninger med 2 ubekendte.

Trækker man den nederste fra den øverste, får man:

y-y = x² + x - 2 + 2x - k

0 = x² + 3x - (2+k)

Antallet af løsninger bestemmes af diskriminanten D = 3²- 4 · 1 · (2+k) = 9 - 8 - 4k = 1 - 4k.

Når D er 0, er der præcis 1 løsning: 1-4k = 0 ⇔k = 1/4

Svar #9
24. november 2014 af Tbrahms (Slettet)

Super, tak

Brugbart svar (0)

Svar #10
24. november 2014 af mathon

$f{\, }'(x_o)=2x_o+1=-2$

$x_o=-\frac{3}{2}$

og find ligningen for tangenten i (x_o,f(x_o)):

$y=-2\left (x+ \frac{3}{2}\right )+f\left ( -\frac{3}{2} \right )=-2x-3+\left ( \left ( -\frac{3}{2} \right )^2 +\left ( -\frac{3}{2} \right )\right )-2$

Denne skal være identisk med ligningen y = -2x + k,
hvoraf k kan beregnes:
$y=-2x-3+\frac{9}{4}-\frac{6}{4}-2$
$y=-2x+\frac{3}{4}-\frac{20}{4}$

$y=-2x+\left (\mathbf{\color{Red} -\frac{17}{4}} \right )$

$k=-\frac{17}{4}$

Brugbart svar (0)

Svar #11
24. november 2014 af mathon

x² + 3x + (-2-k) = 0

3² - 4·1·(-2-k) = 0

9 + 4(2+k) = 0

9 + 8 + 4k = 0

17 + 4k = 0

k = -(¹⁷/₄)

Brugbart svar (0)

Svar #12
24. november 2014 af Eksperimentalfysikeren

Korrektion af #8: Jeg havde en fortegnsfejl:

D = 32 + 4 · 1 · (2+k) = 9 + 8 + 4k = 1 - 4k.

Heraf fås k = -17/4.

Skriv et svar til: Skæring mellem linje og parabel

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.