Vektorer

c)  Find r'(t) og dernæst r'(t)² Find maksimum og minimumværdier værdier for r'(t)²

d) brug resultatet for b) som støtte

I d'eren ar jeg en fornemmelse af hvor banen skærer sig selv ud fra afbildingen af banen. Men hvordan beregner jeg det? Sidder virkelig fast har abselut ingen idé gvordan jeg bestemmer dette punkt.

du skal se på peroderne af x og y koordinaterne

Hvordan gør jeg det. Hvad menes med perioder?

Hvis nogle vil hjælpe især med d'eren vil det betyde en del. Har sat med det i flere timer og kan ikke komme videre. Håber en dygtig, venlig person vil hjælpe.

#5

Hvis der skal være et dobbeltpunkt, skal der findes to forskellige t-værdier, t₁ og t₂, så at

        x(t₁) = x(t₂)    og     y(t₂) = y(t₂)

Her er      x(t) = a·sin(t) + c     og      y(t) = (b/2)·sin(2t) + d

Da der gælder    sin(t) = sin(π-t)  skal der altså gælde

        t₁ = π - t₂    og   (  2t₁ = π - 2t₂  eller   2t₂ = 2t₁ + 2π)

dvs

        t₁ + t₂ = π
        -t₁ + t₂ = π

        t₁ = 0 og t₂ = π

Mange tusinde tak, men forstår ikke hvorfor sin(t) = sin(π-t).
 

#7

Det bør være en kendt egenskab ved sinusfunktionen at en vinkel og dens supplementvinkel har samme sinus.

Det kan også vises ved at benytte additionsformlerne for sin():

        sin(π-t) = sin(π)·cos(t) - cos(π)·sin(t) = - (-1)·sin(t) = sin(t) .

Det bør også være kendt, at lægges π til argumentet, ganges både sin() og cos() med -1 . Sammen med egenskaben, at sin() er en ulige funktion, har man da

        sin(π-t) = -sin(t-π) = -(-1)·sin(t-π+π) = sin(t) .

Har det noget med de trigometriske grundligninger at gøre?

?Jeg d'eren har jeg opstilt følgende hastighedsfunktion:

Men hvordan finder jeg bilens største og mindste fart?

#11

Det er udtrykket for farten, du har opstillet der.

Idet x(t) = 2·sin(t) + 2   og   y(t) = 2·sin(t)·cos(t) + 2 = sin(2t) + 2 , har man

        x'(t) = 2·cos(t) og y'(t) = 2·cos(2t) ,

så

        v(t)² = 4·(cos²(t) + cos²(2t))

og man skal så løse ligningen     (v(t)²)' = 0

Skal jeg ikke løse:

#13

Det udtryk er forkert skrevet. Men det er da lettere at løse (v(t)²)' = 0 .

Arh, så

er det samme som  
 

#15

Nej, bestemt ikke. Men ligningen

        (v(t)²)' = 0

er ensbetydende med

        2·v(t)·v'(t) = 0

og hvis v(t) > 0 , er det igen ensbetydende med   v'(t) = 0 .

Hvis fartens kvadrat har et ekstremum af en type, har farten selv et ekstremum af samme type.

Men jeg troede at jeg skulle løse det ved at løse v'(t)=0, hvor jeg fandt nogle t-værdier indenfor 0 og 2π.  Disse t-værdier indsætter jeg i v(t) for at finde farten, hvor jeg kommer frem til den mindste og højste fart, men er det helt forkert eller?

#17

Det er nemmere at løse lignignen v'(t) = 0 ved at løse ligningen (v(t)²)' = 0 . Fremgangsmåden er derefter den samme.

Men det må vel også betyde at  v'(t) = 0 er det samme som (v(t)²)' = 0. Eller er det bare mig som er helt forkert på den? :)

#19

Ja, de to ligninger fører til de samme løsninger, som jeg har nævnt ovenfor. Det er bare lettere at operere med v(t)² end med v(t) .